2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 17:44 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
Dmitriy40 в сообщении #1368888 писал(а):
из той квадратичной формы с $n=z^2$ перехлёст убрать нельзя.

Почему же. Там перехлест $(z+2)\ldots(z+z^2-1)=(z+2)\ldots(z+z^2-1)$. Вычеркивая его, получаем $(z+0)(z+1)=(z+z^2)$ - тривиальное решение с $n=2,m=1$. Если я чего-то не понимаю, дайте конкретный пример "неубираемого", но боюсь что в течении вечера не смогу отвечать. Что же, получается что каждое нетривиальное решение уникально?

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 18:06 
Заслуженный участник


20/08/14
5590
Россия, Москва
Andrey A
Вы изначально потребовали $m>1$, что исключает справа единственное число.
Да и не интересны эти тривиальные решения, так что исключили правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 18:58 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
Да, но и производные от них интересней только количеством знаков. Можно ведь построить подобные для любого $n$ при $m=1$. К примеру $(a-1)a(a+1)=(a^3-a)$. Заполняем промежуток от $(a+2)$ до $(a^3-a-1)$, и вот новое решение. Ну, Вы сами говорили что их море. Собственно, их и тривиальными не назовешь, это как непримитивные евклидовы тройки - класс решений, существование которых зависит от некого изначального решения. Просто отмечаем, что их структура известна и занимаемся чем-то более интересным.

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 19:48 
Заслуженный участник


20/08/14
5590
Россия, Москва
Да, можно построить, я даже формулой написал сколько каких. И все их (включая и кучу моих примеров) предлагаю теперь считать тривиальными и не интересными.
А все остальные сводятся к одному из диофантовых уравнений от двух переменных степени $n$. И для $n<100$ других решений кроме 4-х выше не нашёл, хотя например для $n=3\ldots10$ проверил до $x<10^6$.
Т.е. задача из малопонятной кучи произведений трансформируется в хорошо известную задачу решения некоего диофантового уравнения (своего для каждой пары $n,m$), в эту сторону и рыть. Ничего принципиально другого тут быть не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение02.02.2019, 01:07 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
Надо бы подытожить. И так, существует лишь конечное число нетривиальных равенств вида
$10! =6!\cdot 7!$
или
$4!\cdot 15! =7!\cdot 13!$
$14!\cdot 62! =7!\cdot 66!$
$18!\cdot 57! =22!\cdot 54!$
Очень может быть что число это $=4$, и все возможные варианты записаны здесь, однако доказательств нет. Открытая математическая проблема :facepalm:
Почленным делением получаем также
$10!\cdot 13! =4!\cdot 6!\cdot 15!$
$10!\cdot 66! =6!\cdot 14!\cdot 62!$
$4!\cdot 15!\cdot 66! =13!\cdot 14!\cdot 62!$ и т.д., но это уже другая задача.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group