Будет ли на конце 16?

[Ktina]

Может ли $16^n+n^{16}$ оканчиваться на 16 при каком-нибудь натуральном $n$?

[SergeCpp]

Ktina, вот вам в копилку схожее:

$1^5+5^1$ заканчивается на $1+5\bmod 10 = 6$
$2^5+5^2$ заканчивается на $2+5\bmod 10 = 7$
$3^5+5^3$ заканчивается на $3+5\bmod 10 = 8$
$4^5+5^4$ заканчивается на $4+5\bmod 10 = 9$
$5^5+5^5$ заканчивается на $5+5\bmod 10 = 0$
$6^5+5^6$ заканчивается на $6+5\bmod 10 = 1$
$7^5+5^7$ заканчивается на $7+5\bmod 10 = 2$
$8^5+5^8$ заканчивается на $8+5\bmod 10 = 3$
$9^5+5^9$ заканчивается на $9+5\bmod 10 = 4$

[wrest]

Ktina в сообщении #1373104 писал(а):

Может ли $16^n+n^{16}$ оканчиваться на 16 при каком-нибудь натуральном $n$?

Первое слагаемое всегда оканчивается на $6$ (это очевидно), значит второе должно оканчиваться на $0$.
Чтобы $n^{16} \mod 10 =0$ надо чтобы $n \mod 10 =0$ (т.е. $n=10k$), и тогда при этом выходит что $10^{16}k^{16} \mod 100 =0$
Но $16^{10k} \mod 100 = 76$ (там простой цикл остатков $\{16,56,96,36,76,16,...\}$)
И соответственно, $(10k)^{16} + 16^{10k} \mod 100 = 76$

Ответ: не может.

[Ktina]

wrest
Большое спасибо!
SergeCpp
И Вам!