координаты точки (проекция, вектора)

[Бодигрим]

${\rm sgn}\, y = {\rm sgn}\, \cos\beta$. Upd.: наврал, совсем летом расслабился.

Знаки $x$ и $z$ определяются из контекста. На вашем рисунке $x\ge0$ $z\le0$.

[Андрей]

Но мне кажется что если разговор ведется о векторах то по идеи их знак должен как то задаваться (определяться) математически...наверно.
А что значит выражение sgn y = sgn cosβ. (Уже несколько раз наталкиваюсь на это sgn, но так и не понял что это означает )

[Бодигрим]

$$ \mathrm{sgn}\, x = \left\{ \begin{matrix} \phantom{-{}}1, & x>0 \\ \phantom{-{}}0, & x=0 \\ -1, & x<0 \end{matrix} \right. $$

Добавлено спустя 19 минут 41 секунду:

Насчет остальных знаков. Например, при $\beta\in[0,\pi]$ $z\le0$, иначе $z\ge0$. Далее, при $\gamma\in[0,\pi]$ $x\ge0$, иначе $x\le0$. А вот знак $y$ эти углы однозначно определить не могут - он в этой задаче неопределен вообще.

[ewert]

Андрей писал(а):

Стержень наклонен относиттельно оси Y на угол β, а затем повернут относительно оси X на угол γ.

Что-то я не понял, в чём задача. Судя по Вашему следующему и предыдущему постам, имеется в виду доворот вокруг $Y$ с отклонением на $\alpha$ от оси $X$. И потом ещё раз поворот всей картинки вокруг $Y$ на $\gamma$.Но тогда всё сводится попросту к замене $\alpha$ на $(\alpha+\gamma)$ Только надо формулы подправить: исходное

Андрей писал(а):

X_K=l sin\gamma Y_K= l cos\beta cos\gamma Z_K=- l sin\beta

-- это неправдоподобно.

[Андрей]

Задача в том что изначально стержень OK уже повернут (относительно точки О) в пространстве на два угла β и γ (чертеж 2), т.е. это получается начальное условие положение координат точки К (Xк Yк Zк).

Необходимо определить координаты точки К после того как систему координат XYZO повернули на угол α вокруг оси Y (чертеж 1), в результате чего получили новую систему координат X’Y’Z’O (а значит и новые координаты точки K т.е. X’к Y’к Z’к).

А уважаемый Бодигрим указал на то что возможно начальные условие положения точки К (или стержня ОК) не совсем корректно мной определены, и что данную задачу можно решить другим способом. Но тем не менее смысл задачи остается прежним,…. как мне кажется.

[ewert]

Андрей писал(а):

Задача в том что изначально стержень OK уже повернут (относительно точки О) в пространстве на два угла β и γ (чертеж 2), т.е. это получается начальное условие положение координат точки К (Xк Yк Zк).

На втором чертеже ничего совершенно нельзя понять.
Не вызывает сомнения только угол $\beta$ (относительно оси $Y$). А насчёт второго угла -- $\gamma$ -- возможны две интерпретации:

1) это -- угол между проекцией стержня на плоскость $XZ$ (тогда эти два угла являются сферическими координатами);
2) это -- угол между самим стержнем и осью $X$.

Ни для первого, ни для второго варианта Ваши начальные формулы не верны.

В первом варианте задача, как я уже сказал, тривиальна. Во втором никуда не деться от нахождения третьей координаты: $z_K=\pm\l\,\sqrt{1-\cos^2\gamma-\cos^2\beta}$; знак, естественно, придётся выбирать из каких-то дополнительных соображений. После чего ни о чём задумываться не нужно, достаточно просто применить стандартные формулы поворота в плоскости $XZ$ (координата $y_K$, конечно, сохранится).

[Андрей]

Да сразу чувствуются, мои ограниченные знания по математике. С технической точки зрения стержень ОК наклонен относительно оси Y на угол β, а затем еще раз наклонен от оси Y к оси X на угол γ (как говорится это догма). Именно это я и попробовал изобразить на чертеже 2.

Ewert подскажите пожалуйста, исходя из выше перечисленного к какой именно интерпретации (1 или 2) относится поставленная мною задача относительно начальных условий положения стержня ОК.

И насчет правильности моих формул я писал что погрешность по ним составила 0,0056% может эти формулы несовсем уж так неправильны?

[ewert]

Андрей писал(а):

Да сразу чувствуются, мои ограниченные знания по математике. С технической точки зрения стержень ОК наклонен относительно оси Y на угол β, а затем еще раз наклонен от оси Y к оси X на угол γ (как говорится это догма). Именно это я и попробовал изобразить на чертеже 2.

Ewert подскажите пожалуйста, исходя из выше перечисленного к какой именно интерпретации (1 или 2) относится поставленная мною задача относительно начальных условий положения стержня ОК.

Ни к какой, это уже третья интерпретация, причём совершенно экзотическая.
Если сперва Вы отклоняетесь от оси $Y$ в неопределённом направлении, то потом к оси $X$ можно склоняться не от оси $Y$, а только от предыдущего положения.
Если же первоначальное отклонение производится в плоскости $XY$ (так, чтобы слова о повторном отклонении именно от оси $Y$ имели бы смысл), то всё сводится просто к суммарному повороту в этой плоскости на угол $(\beta+\gamma)$.

В общем, я так и не понял, какая постановка задачи имеется в виду.

[Андрей]

В общем я окончательно запутался, я точною знаю только то что изначально стержень ОК совпадает с осью Y (с ее положительным направлением), затем стержень наклонен относительно оси Y на угол β (т.е. наклон происходит от положительного направления оси Y к отрицательному направлению оси Z), а затем уже стержень ОК еще раз наклонен в направлении от оси Y к оси X на угол γ (т.е. наклон происходит от положительного направления оси Y к положительному направлению оси X). Вроде все как на чертеже 2.

Вот и только из этих соображений я вывел формулы условия начального положения точки К (стержня ОК).

А постановка задачи в том что необходимо определить координаты точки К после того как систему координат XYZO повернули на угол α вокруг оси Y (чертеж 1), в результате чего получили новую систему координат X’Y’Z’O (а значит и новые координаты точки K т.е. X’к Y’к Z’к). И эти координаты я определил, но только не уверен что правильно и поэтому прошу подсказать правильно определил или нет.

Но в итоге оказывается что я возможно совершенно неправильно определил начальные условия положения точки К. И получается что мы ушли от одной проблемы к другой.

[ewert]

Андрей писал(а):

стержень наклонен относительно оси Y на угол β (т.е. наклон происходит от положительного направления оси Y к отрицательному направлению оси Z), а затем уже стержень ОК еще раз наклонен в направлении от оси Y к оси X на угол γ (т.е. наклон происходит от положительного направления оси Y к положительному направлению оси X).

Второе -- совершенно непонятно. После первого поворота стержень уже не имеет ничего общего с осью $Y$. Поэтому говорить о "наклоне от оси $Y$" нельзя.

В какой конкретно плоскости (или: вокруг какой конкретно оси) производится второй поворот? Потом уже можно будет обсуждать, что в точности понимается под вторым углом.

[Андрей]

Как я понимаю угол γ образовывается путем поворота стержня ОК, от его предыдущего положения, относительно (вокруг) оси Z по часовой стрелке (если смотреть с положительного конца оси OZ).

[ewert]

Андрей писал(а):

Как я понимаю угол γ образовывается путем поворота стержня ОК, от его предыдущего положения, относительно (вокруг) оси Z по часовой стрелке (если смотреть с положительного конца оси OZ).

Т.е., собственно, последовательность преобразований такая:

1) поворот вокруг оси $X$;
2) затем поворот вокруг оси $Z$;
3) затем поворот вокруг оси $Y$.

Это правда?

[Андрей]

В принципе да но необходимо разбить на две части:
1). Поворачиваем сам стержень ОК на углы β и γ т.е. это начальные условия положения точки К (стержня ОК), что соответствует Вашим пунктам 1 и 2. Чертеж 2.
2). Поворот систему координат XYZO на угол α вокруг оси Y, в результате чего получили новую систему координат X’Y’Z’O (а значит и новые координаты точки K т.е. X’к Y’к Z’к), что соответствует Вашему пункту 3. Чертеж 1.


P.S. Да кстати я наконец то понял что Вы именно от меня хотели услышать, а именно что угол γ откладывается именно от стержня ОК (после того как стержень был наклонен от оси Y на угол β). Меня сбивало то что стержень ОК после поворота на угол β совпадает с осью OY (если смотреть с положительного конца оси OZ), и поэтому для меня было одинаково (очевидно) что угол γ откладывается от оси OY или от стержня ОК. Но сейчас я понимаю что правильно именно откладывание угла γ от стержня ОК. Так что спасибо что впихнули в мою голову очевидную истину.

[Бодигрим]

Цитата:

Да кстати я наконец то понял что Вы именно от меня хотели услышать, а именно что угол γ откладывается именно от стержня ОК (после того как стержень был наклонен от оси Y на угол β). Меня сбивало то что стержень ОК после поворота на угол β совпадает с осью OY (если смотреть с положительного конца оси OZ), и поэтому для меня было одинаково (очевидно) что угол γ откладывается от оси OY или от стержня ОК. Но сейчас я понимаю что правильно именно откладывание угла γ от стержня ОК.

От вас хотели услышать условие задачи. Ни я, ни ewert не телепаты и понятия не имеем, что подразумевал автор: это ваша задача и вам принадлежит приоритет в трактовке ее условия. У вас написано в условии, что угол откладывается от стержня, а не от его проекции на соответствющую плоскость? Может быть и так, и этак.

[Андрей]

Замечание справедливо, и как говориться с вами не поспоришь. В свое оправдание могут сказать, что только в процессе обсуждения данной задачи на форуме ко мне пришло осознание некоторых моментов на которые раньше я не обратил внимание.
На счет

Цитата:

У вас написано в условии, что угол откладывается от стержня, а не от его проекции на соответствющую плоскость? Может быть и так, и этак.

то я точно знаю лишь то что стержень ОК изначально совпадает с осью OY, затем стержень повернут вокруг оси OX против хода часовой стрелки (если смотреть с отрицательного конца оси OX) на угол β, и затем стержень ОК повернут вокруг оси OZ по ходу часовой стрелке (если смотреть с положительного конца оси OZ) на угол γ. (этот стержень из реального механизма, и именно так происходит установка и регулировка данного стержня ОК).

Поэтому я и делаю вывод что угол γ откладывается именно от стержня ОК.