Может ли главная диагональ наклонного парал-да...

[bitcoin]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, может ли оказаться так, что главная диагональ наклонного параллелепипеда быть меньше неравных диагоналей граней?

То есть, например, существует ли наклонный параллелепипед с диагоналями граней $A_1C_1=13$, $A_1D=17$, $DC_1=22$, чтобы при этом главная диагональ была равна $BD_1=5$ и быть перпендикулряна плоскости разноцветного треугольника? Ясно дело, что если был бы прямоугольный параллелепипед, то это было бы невозможно, в связи с тем, что главная диагональ бы считалась как сумма квадратов трех измерений, а каждая из диагоналей граней суммой квадратов двух измерений.
Интуитивно подозреваю, что это можно доказать, если ввести какие-то углы, но какие и между чем и чем?

[Sender]

Вообще, как близко друг к другу могут располагаться противоположные вершины параллелепипеда, что вы можете сказать о возможности вырожденного случая?

[B@R5uk]

Лучше ответьте сначала на такой вопрос: вам задан разноцветный треугольник и точка $D_1$, можно ли достроить остальные вершины параллелепипеда?

[bitcoin]

B@R5uk в сообщении #1372403 писал(а):

Лучше ответьте сначала на такой вопрос: вам задан разноцветный треугольник и точка $D_1$, можно ли достроить остальные вершины параллелепипеда?

Спасибо, но для меня это один и тот же вопрос, как и в стартпосте, не знаю как на него ответить!

-- 28.01.2019, 22:02 --

Sender в сообщении #1372402 писал(а):

Вообще, как близко друг к другу могут располагаться противоположные вершины параллелепипеда, что вы можете сказать о возможности вырожденного случая?

Вырожденный случай будет, если нарушится неравенство треугольника, но как узнать - нарушится ли оно?

[Someone]

bitcoin в сообщении #1372498 писал(а):

Спасибо, но для меня это один и тот же вопрос, как и в стартпосте, не знаю как на него ответить!

А Вы на свой рисунок посмотрите. На нём всё видно.

bitcoin в сообщении #1372498 писал(а):

Вырожденный случай будет, если нарушится неравенство треугольника, но как узнать - нарушится ли оно?

Для параллелепипеда вырожденный случай — это когда он превращается в плоскую (или даже одномерную) фигуру.

[bitcoin]

Аааа, спасибо, теперь я понял, спасибо. Давайте тогда попробую так. Возьмем разноцветный треугольник. Возьмем некоторую прямую, которая перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через некоторую внутреннюю точку $X$ этого треугольника. По разные стороны от этой точки $X$ мы берем произвольные точки $B$ и $D_1$, не совпадающие с точкой $X$, так, что $D_1X:XB=1:2$, тогда соединяя точку $D_1$ с вершинами разноцветного треугольника, мы получим треугольную пирамиду, которую можно будет всегда достроить до параллелепипеда, остается только объяснить как именно достраивать, получается, что можно организовать параллелепипед, если $BD_1$ имеет любую ненулевую длину, иначе будет вырожденный случай, когда все точки будут лежать в одной плоскости. Верно ли это?

[Someone]

bitcoin в сообщении #1372503 писал(а):

Возьмем некоторую прямую, которая перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через некоторую внутреннюю точку $X$ этого треугольника.

Тут есть такая проблема, что не любая точка $X$ годится.

-- Пн янв 28, 2019 23:01:42 --

Нарисуйте проекцию параллелепипеда на плоскость $\triangle A_1C_1D$.

[bitcoin]

Спасибо. Красные точки являются проекциями вершин пар-да на нужную плоскость. Верно?

[Someone]

Непонятный рисунок.
Когда говорят "изобразить проекцию тела на плоскость $A_1C_1D$", на мой взгляд, эта плоскость должна совпадать с плоскостью листа бумаги, на котором Вы эту проекцию изображаете. А перпендикуляры к плоскости проекции будут изображаться точками. Так что, например, проекция точки $D_1$ на рисунке будет совпадать с изображением самой точки $D_1$. Вас должны интересовать проекции рёбер, а не вершин. Если Вы построите проекции рёбер и обнаружите, что проекция вершины $B$ совпадает с проекцией вершины $D_1$, то это будет означать, что диагональ $BD_1$ перпендикулярна плоскости $A_1C_1D$, как Вы и хотели.

[bitcoin]

Спасибо! А так, правильно?

[Someone]

Ну Вы же не нарисовали проекции всех рёбер. И, кроме того, не попытались взять какую-нибудь точку $D_1$, аккуратно построить рёбра и посмотреть, совпадёт ли проекция точки $B$ с проекцией точки $D_1$. А потом подумать, как же сделать так, чтобы они совпадали.

[bitcoin]

У меня воображение взорвалось, оперативки в мозгу не хватает Сдаюсь.

[Someone]

Сдаваться нельзя, решать задачу за Вас никто не будет.

Вот нарисовали Вы $\triangle A_1C_1D$, выбрали точку $D_1$ внутри треугольника. Смо́трите на свой рисунок в первом сообщении и ищете, какие там рёбра выходят из точки $D_1$. Изображаете их. Рассматриваете точки $A_1$, $C_1$, $D$. Выясняете, какие рёбра выходят из них и чему они параллельны. Аккуратно их изображаете, находите точки $A$, $C$, $B_1$. И так далее. Не забываете, что "невидимые линии" следует изображать штриховыми.

[bitcoin]

У меня для обеих точек одинаковая картинка получается. Мне кажется, здесь три параллелограмма с диагоналями, правильно?

P.S. А может методом координат получится доказать?

[arseniiv]

Зачем координаты, они собьют вас с толку. Вот вы умеете проецировать параллелепипед на плоскость. Скажите, разве не является эта проекция сама параллелепипедом? Если такой вырожденный параллелепипед без объёма и не понравится, сама проекция полезна: представьте, что вы однородно растягиваете пространство вдоль оси, перпендикулярной некоторой плоскости, в $a$ раз. Это значит, что расстояния от точек до этой плоскости увеличиваются во столько раз. Если притом $a=0$, мы получим просто ортогональную проекцию на эту плоскость. Теперь вы можете поплющить куб и попытаться подобрать плоскость так, чтобы было очевидно, что задуманное в первом посте возможно.