координаты точки (проекция, вектора)

[Андрей]

Здравствуйте, помогите разобраться с такой задачей. Имеется стержень ОК, который наклонен относительно осей на углы β и γ. Длина стержня ОК равна l, в точку О помещена система координат XYZO (рис.1).

Таким образом координаты точки К в пространстве равны:
X_K=l sin\gamma Y_K= l cos\beta cos\gamma Z_K=- l sin\beta
Определить координаты точки K после поворота системы координат XYZO на угол α вокруг оси Y (рис.2). (В результате этого поворота получена новая система координат X’Y’Z’O.)
По моим соображениям получается что:

проекция точки К на ось X’
X_{K1}^/=X_K cos\alpha= l sin\gamma cos\alpha X_{K2}^/= Z_K sin\alpha =- l sin\beta sin\alpha \sum\ X_K^/= X_{K1}^/- X_{K2}^/
Таким образом можем записать
X_{K}^/= l sin\gamma cos\alpha + l sin\beta sin\alpha

проекция точки К на ось Y’. Так как ось Y’=Y то
Y_{K}^/=Y_K= l cos\beta cos\gamma

проекция точки К на ось Z’
Z_{K1}^/=Z_K cos\alpha =- l sin\beta cos\alpha Z_{K2}^/= X_K sin\alpha = l sin\gamma sin\alpha \sum\ Z_K^/= Z_{K1}^/+ Z_{K2}^/
Таким образом можем записать
Z_K^/=- l sin\beta cos\alpha + l sin\gamma sin\alpha

Помогите понять это правильные выводы или нет, а то у меня есть некоторые сомнения в правильности вывода этих формул (попробовал рассмотреть этот вопрос в векторах и окончательно запутался в знаках).

[Бодигрим]

Цитата:

Имеется стержень ОК, который наклонен относительно осей на углы β и γ.

С какой осью он образует угол $\beta$, а с какой $\gamma$?

А вообще да, я бы такую задачу решал с позиций линейной алгебры. Записал бы вектор $OK$ и матрицу поворота...

[Андрей]

Стержень наклонен относиттельно оси Y на угол β, а относи затем повернут относительно оси X на угол γ.
Такой метод как я запаисал мне проще и как я понимаю по большому счету для построения матрицы поворота необходимо вывести этиже формулы но разве что не расписывать координаты точки К (т.е вместо заданых начальных условий везде писать Xk, Yk,Zk)

[Бодигрим]

Матрица в данном случае строится элементарно. Векторы оси OY она не изменяет, а в плоскости OXZ является матрицей поворота, стандартный вид которой хорошо известен. В результате в координатах $xyz$ получаем матрицу

$$ \begin{pmatrix} \cos\alpha & 0 & -\sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\alpha & 0 & \cos\alpha \\ \end{pmatrix} $$

Добавлено спустя 16 минут 14 секунд:

Наврал: если у вас поворот по часовой стрелке, то

$$ \begin{pmatrix} \cos\alpha & 0 & \sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha \\ \end{pmatrix} $$

[Андрей]

Но получается что эта матрица не полная, ведь в итоге должны получиться те же самые координаты что я и записал.
И хочу обратить внимание что в первую очередь меня интересует правильно я вывел координаты точки К или нет. (Но конечно же спасибо и за матрицу как я понимаю в итоге должен получится один и тот же ответ).

[Бодигрим]

Цитата:

Стержень наклонен относиттельно оси Y на угол β, а относи затем повернут относительно оси X на угол γ.

Если $\angle KOY=\beta$, то ведь $Y_K = \cos\beta |OK| = l\cos\beta$. Разве не так? Что такое "повернут относительно оси на угол..."? Это "составляет с осью угол..." или "повернут вокруг оси $X$ на угол..."?

Добавлено спустя 2 минуты 10 секунд:

Цитата:

Но получается что эта матрица не полная, ведь в итоге должны получиться те же самые координаты что я и записал.

Что такое "полная матрица"?

[Андрей]

А насчет полной матрицы по идеи слева от матрицы должны еще быть в колонку координаты Xк,Yк, Zк а может X’к,Y’к, Z’к.

В ходе обсуждений и замечаний было выявлено что я не совсем правильно сформулировал свои мысли как были получены начальные условия положения точки К. Поэтому я решил подкорректировать их здесь хотя к этому я пришел гораздо позже после замечаний Ewert а.

Итак стержень ОК изначально совпадает с осью OY, затем стержень повернут вокруг оси OX против хода часовой стрелки (если смотреть с отрицательного конца оси OX) на угол β, и затем стержень ОК повернут вокруг оси OZ по ходу часовой стрелке (если смотреть с положительного конца оси OZ) на угол γ. И наверно более правильным будет следующий рисунок где (К) обозначает промежуточное положение стержня ОК в пространстве после его поворота на угол β.

[Бодигрим]

Цитата:

А насчет полной матрицы по идеи слева от матрицы должны еще быть в колонку координаты Xк,Yк, Zк а может X’к,Y’к, Z’к.

Матрица преобразования - это матрица преобразования. Какие буковки вы пожелаете дорисовать слева - это уже ваши заботы.

Да, координаты вы нашли верно. У меня нет большого желания вникать в ваши рассуждения с проекциями, но, по-моему, вы поворачиваете не в ту сторону, которая обозначена на чертеже.

[Андрей]

Уточните пожалуйста

Цитата:

но, по-моему, вы поворачиваете не в ту сторону, которая обозначена на чертеже.

что именно я поворачиваю не в ту сторону и на каком чертеже.

[Бодигрим]

Хм, я ошибался: в координатах у вас все же ошибка. Очевидное тождество $X_K^2+Y_K^2+Z_K^2=l^2$ у вас выполняется не всегда.

[Андрей]

Я так и думал, предпологаю что ошибка где то в знаках и связано это с направлением радиус вектора точки К (хотя это наверно и так очевидно), но не могу понять где именно ошибка.

[Бодигрим]

При нахождении координат, я бы рассуждал следующим образом. Пусть $K=(x,y,z)$.

Спроецировав $K$ на плоскость $OYZ$ получим вектор $(0,y,z)$, который образует с $(0,1,0)$ угол $\beta$. Это в силу свойств скалярного произведения означает, что

$$ {(0,y,z)\cdot(0,1,0)\over \sqrt{y^2+z^2}} = \cos\beta $$

. Но $(0,y,z)\cdot(0,1,0)=y$, так что после преобразований получим $z=\pm y\tan\beta$.

Аналогично можем спроецировать $K$ на $OXY$ и получить уравнение $x=\pm y\tan\gamma$. Теперь остается выбрать $y$ так, чтобы $|K|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=l$. В силу вышеприведенных выражений $x$ и $z$ через $y$, получим

$$ y^2(1+\tan^2\beta+\tan^2\gamma)=l^2, $$

а значит

$$ y = \pm {l\over\sqrt{1+\tan^2\beta+\tan^2\gamma}} $$

[Андрей]

Хм, интересный подход для определения начальных условий для положения стержня К, но мне кажется так мы усложняем формулы т.е. делаем более громоздкими (хотя конечно все упирается в правильность и точность формул).
А можно уточнить как именно преобразовывать чтобы получить x=y tan\gamma

[Бодигрим]

Цитата:

Хм, интересный подход для определения начальных условий для положения стержня К, но мне кажется так мы усложняем формулы т.е. делаем более громоздкими (хотя конечно все упирается в правильность и точность формул).

Важно, что эти формулы (в отличие от ваших) правильны с точностью до знака, и подход, при помощи которого они найдены, достаточно универсален.

Насчет преобразований.

$$ {(0,y,z)\cdot(0,1,0)\over \sqrt{y^2+z^2}} = \cos\beta $$

$\Rightarrow$

$$ {y\over \sqrt{y^2+z^2}}} = \cos\beta $$

$\Rightarrow$

$$ y = \cos\beta \sqrt{y^2+z^2}} $$

$\Rightarrow$

$$ y^2 = \cos^2\beta (y^2+z^2) $$

$\Rightarrow$

$$ \sin^2\beta y^2 = \cos^2\beta z^2 $$

$\Rightarrow$

$$ z^2 = y^2\tan^2\beta $$

$\Rightarrow$

$$ |z|= |y\tan\beta| $$

[Андрей]

Да Ваши формулы безусловно точнее моих. Я уже успел прикинуть что погрешность ваших формул всего лишь 0,000038%, а по моим 0,0056%. Я вот еще что не понял как по приведенным вами формулам понять знак координаты плюс или минус.