Гипотеза о зекрых числах

[TR63]

Я посмотрела на доказанную аналитически экстраполяционную схему для простой задачи.(Есть и другие задачи, но чуть сложнее, с такой же или похожей схемой.)

Пояснение.

Схема для одной обобщённой задачи Ktina

$2^{\alpha+\beta}+2^\alpha+1=n^2$, $\alpha>\beta$, $\alpha-\beta=\alpha_1$

имеет вид:

$\{\{-[++]\}_1\{-[?]\}_2\}$$\to\{\{-[++]\}_1\{-[--...]\}_2\}$

Здесь показана экстраполяция по $\alpha_1\ge1$. Знаки плюс и минус означают наличие или отсутствие решения при изменении $\alpha_1$.

Гипотетически схема для задачи

$n^{kn+1}+kn+1$

должна иметь такой же вид (по сути, это тоже гипотеза первая), т.к. первые классы этих двух задач совпадают в том плане, что мы их можем непрерывным образом разделить на два не пересекающихся класса. Т.е.:

$\{\{\pm[++]_1\}_1\{+[??...]_2\}_2\}$

Вторая гипотеза заключается в следующем: будет ли $[]_2$ непрерывна относительно знака.

Понятно, что все простыми в $[]_2$ не могут быть. Остаётся два варианта: все составные или составные и простые при каждом $k\ge5$, $n\ge2$при условии, что предыдущие гипотезы при $k\le4$ верны.

[TR63]

TR63 в сообщении #1370490 писал(а):

Гипотетически схема для задачи

$n^{kn+1}+kn+1$

должна иметь такой же вид (по сути, это тоже гипотеза первая), т.к. первые классы этих двух задач совпадают в том плане, что мы их можем непрерывным образом разделить на два не пересекающихся класса. Т.е.:

$\{\{\pm[++]_1\}_1\{+[??...]_2\}_2\}$

Эта схема ошибочна, т.к. я неправильно поняла информацию из первого поста ТС о числе $155568095557812239$. Т.е. не получается в лоб разделить первый класс на два не пересекающихся класса (числа $n=2^m$ желательно исключить). Поэтому про гипотетическую экстраполяцию для $k>4$ пока ничего сказать не могу.

[Dmitriy40]

PARI/GP, k=1..100, n=1..100:

Используется синтаксис Text

? p=primes([2,10^5]);for(k=1,100,v=[];for(n=1,100,x=n^(k*n+1)+k*n+1;for(i=1,#p,if(p[i]>=x,break);if(x%p[i]==0,next(2)));if(ispseudoprime(x),v=concat(v,[n])));if(#v>0,print("k=",k,",n=",v)))
k=1,n=[1, 2]
k=2,n=[2, 4]
k=3,n=[1]
k=4,n=[2]
k=5,n=[1]
k=7,n=[2]
k=9,n=[1, 4]
k=11,n=[1, 3]
k=15,n=[1]
k=17,n=[1]
k=19,n=[2]
k=21,n=[1, 4]
k=27,n=[1]
k=29,n=[1]
k=33,n=[4]
k=35,n=[1]
k=37,n=[2]
k=39,n=[1]
k=40,n=[2]
k=41,n=[1]
k=44,n=[2]
k=45,n=[1, 10]
k=51,n=[1]
k=56,n=[4]
k=57,n=[1]
k=59,n=[1]
k=65,n=[1]
k=69,n=[1, 23]
k=71,n=[1]
k=77,n=[1]
k=81,n=[1]
k=87,n=[1]
k=95,n=[1]
k=99,n=[1]
time = 25min, 36,657 ms.

[Grom Hellscream]

Назовем $f(n) $, где $f$ - произвольная возрастающая функция из целых в целые, желательно со степенями и сложением, "произвольное прилагательное" числами.
Верно ли, что среди "произвольное прилагательное" чисел бесконечно много простых?
Обязательно не забыть обозвать "гипотезой" и внести в википедию в список нерешённых задач.

[daniel starodubtsev]

Да уж. Несколько смущает сочетание $k = 69, n = 23$. Возможно стоит немного переформулировать гипотезу: числа вида $n^k^n^+^1 + kn + 1$ принимают простые значения не более, чем при двух $n$ (для фиксированного $k$).

[Ktina]

daniel starodubtsev в сообщении #1371770 писал(а):

Возможно стоит немного переформулировать гипотезу...

Принимается!

[TR63]

Для того чтобы в исходной задаче при $k\ge5$ иметь хотя бы гипотетическую экстраполяцию, желательно добиться максимальной аналогии с какой-нибудь аналитически доказанной задачей. Например, можно взять уже выше предложенную обобщённую задачу Ktina, доказанную аналитически. В её схеме экстраполяции первый класс $\{\}_1$ разбит непрерывным образом (здесь требуется разъяснение, но пропустим) на два не пересекающихся класса $\{-[++]\}_1$. Причём, второй класс в этом первом классе $\{\}_1$ является отрицанием первого. В схеме, предложенной daniel starodubtsev, я не вижу такого разбиения. Поэтому ничего однозначно (гипотетически) об экстраполяции при $k\ge5$ сказать не могу. Но, конечно, интересно, что покажет компьютерный эксперимент(лучше аналитическое доказательство).
В этой задаче ещё имеется проблема с общим свойством, которую с помощью некоторой аналогии можно обойти. Но об этом пока не стоит говорить.

[hurtsy]

Ktina в сообщении #1320274 писал(а):

Например, зекрое число, номер которого даёт остаток 1 при делении на 3, обязательно кратно трём. ...
... Тем не менее, может, какая-то закономерность тут всё таки есть?

Т.е. эти числа составные. По теореме Вильсона

Цитата:

если $ p $- составное число, большее 4, то $(p-1)!$ делится на $p$.

Произвольное зекрое число с номером $m=zekr(3k+1)$ делит $(m-1)!$. Если номер зекрого числа меньше то он тоже делит $(m-1)!$. Как то так.