Ближайшее простое.

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники! Путем несложных расчетов пришел к любопытному результату.
На отрезке [N;N+(lnN)^2] начиная с N=12 всегда будет находиться не менее двух простых чисел. На небольших числах проверял, все работает. Хотелось бы узнать мнение авторитетных товарищей в этой области.

[Руст]

Да, начиная с p=11 не найдено больших разностей между последовательными простыми числами. Гипотеза формулируется $p_{n+1}<p_n+(ln p_n)^2,p_n>7$.
По большим разностям имеется информация тут http://www.trnicely.net/gaps/gablist.html

[worm2]

Руст в сообщении #136122 писал(а):

http:/www.trnicely.net/gaps/gablist.html

Опечатка: http://www.trnicely.net/gaps/gaplist.html.
Вот тут ещё что-то есть: http://primes.utm.edu/notes/gaps.html.

Добавлено спустя 5 минут:

Хотя у Вас ещё более сильная гипотеза, чем там обсуждается, а именно, что простых не меньше двух. Думается, тут всё же можно контрпример найти.

[Руст]

Контпример вряд ли удастся найти. Когда один большой пробел, то следующий в лучшем случае средний порядка $lnp$, поэтому когда большой пробел выполняется с некоторым запасом $p_{n+1}<p_n+0.9(ln(p_n))^2$, (что вроде выполняется в приведённых таблицах) то найдётся и 2. Хотя и гипотеза формулируется несколько слабее $\limsup \frac{p_{n+1}-p_n}{(ln(p_n))^2}=1$, т.е. возможно имеется большая разность (пока не найденная) $(lnp_n)^2<p_{n+1}-p_n<(1+\epsilon)(lnp_n)^2$.
К примеру для рекордной $p_n=801 212 830 686 677 669$ разница $p_{n+1}-p_n=1442$ и отношение $0.8484885288$.

[worm2]

Да, я, похоже ошибся.
Думал, что, может быть, два рядом стоящих "больших" промежутка найдутся. Однако среди первого миллиона простых контрпримера не нашлось.

[Побережный Александр]

Уважаемый Руст, а кто и где сформулировал эту гипотезу:
р(n+1)<p(n)+(ln(p(n)))^2

[Руст]

Кто первым сформулировал я не знаю. Но любой кто имел достаточный запас простых чисел мог это сформулировать. Например Эйлер или Гаусс. Помнится и я чуть ли не со школы предполагал что это верно (точнее хорошая гипотеза). Только соременные методы очень далеки даже для слабых вариантов. Пока наилучшие доказанные $p_{n+1}<p_n+p_n^a$ для $a=0.525$ начиная с некотого места.

[PAV]

Побережный Александр, отредактируйте свои сообщения, используя принятые на форуме средства записи формул, как делают Ваши собеседники.

[maxal]

Это гипотеза Крамера. См.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cramer_conjecture
http://mathworld.wolfram.com/CramerConjecture.html

Добавлено спустя 5 минут 27 секунд:

А точнее даже гипотеза Крамера-Гренвилля: http://mathworld.wolfram.com/Cramer-Gra ... cture.html
Правда, они гораздо осторожнее в выборе константы перед квадратом логарифма в оценке разности между соседними простыми и всего лишь утверждают, что эта константа больше 1.

[Побережный Александр]

Новая формулировка гипотезы выглядит так:
$p_{n+2}-p_n<0.97*(lnp_n)^2, p>7
В отличие гипотезы Крамера-Гренвилля, здесь оценивается два подряд идущих отрезка между простыми числами.

[maxal]

Побережный Александр писал(а):

Новая формулировка гипотезы выглядит так:
$p_{n+2}-p_n<0.97*(lnp_n)^2, p>7

Я уже вам говорил на другом форуме, но повторюсь здесь: ваша новая формулировка противоречит гипотезе Крамера. Действительно, если $p_{n+2}-p_n<0.97\cdot (\ln p_n)^2$, то и

$$p_{n+1} - p_n < p_{n+2}-p_n < 0.97\cdot (\ln p_n)^2,$$

что влечет

$$\limsup_{n\to\infty} \frac{p_{n+1} - p_n}{(\ln p_n)^2}\leq 0.97,$$

в то время как по гипотезе Крамера

$$\limsup_{n\to\infty} \frac{p_{n+1} - p_n}{(\ln p_n)^2}=1.$$

Таким образом, ваша гипотеза никак не легче гипотезы Крамера (доказательство вашей дает опровержение Крамера и наоборот), и скорее всего неверна.