2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Совместное распределение минимумов
Сообщение20.01.2019, 00:40 


20/01/19
17
Найдите совместное распределение минимумов
$m(n) = \min \lbrace{X_1,…,X_n}\rbrace и $m(n+1) = \min \lbrace{X_1,…,X_n, X_n+1}\rbrace,
где $X_1,X_2,…$ - независимые с.в. с непрерывной ф.р. $F(x)$.
Вопросы:
Т.е. получается, я ищу
$P(m(n),m(n+1))=\min \lbrace{X_1,…,X_n}\rbrace \cdot m(n+1) = \min \lbrace{X_1,…,X_n, X_{n+1}}\rbrace=\min \lbrace{2X_1...2X_n,X_{n+1}}\rbrace, т.к. они независимы?


И что в данном примере определяют минимумы? Т.е. нам же неизвестны $X_1...X_n,X_{n+1}$
И если это не порядковые статистики, можем ли мы говорить, что
$X_{1,n}=\min \lbrace{X_1,…,X_n}\rbrace=\min \lbrace{X_1,…,X_n, X_{n+1}}\rbrace?
или же будет $F_{1:n}=1-(1-F(x)^n)\cdot 2?
Простите, понимание на 0.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.01.2019, 00:58 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
18263
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.01.2019, 02:43 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
18263
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение20.01.2019, 03:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3112
Москва
Ну начните с выписывания определений. Что, например, такое ваше $P(m(n), m(n+1))$? Можете ли вы явно выписать распределение минимума первых $n$ величин?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение20.01.2019, 03:59 


20/01/19
17
mihaild в сообщении #1370098 писал(а):
Ну начните с выписывания определений. Что, например, такое ваше $P(m(n), m(n+1))$?

вероятность события $P(X<x)$? не знаю, как перенести на данную ситуацию. $P(X_n<x,X_{n+1}<x)$?
Цитата:
Можете ли вы явно выписать распределение минимума первых $n$ величин?

Нет, я не знаю, как это сделать и где отыскать. Из того, что знаю:
$F_n(x)=F_{x_1}+...+F_{x_n}-F_{x_1...x_n}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение20.01.2019, 04:06 
Аватара пользователя


22/06/12
1413
idcradle, приведите определение совместной функции распределения двух случайных величин в виде $F(x, y) = \ldots$

-- 20.01.2019 в 04:55 --

Да, а после того, как приведёте, в контексте этого определения тыкните пальцем в случайные величины, которые вам надо проанализировать. Тогда вы хотя бы поймёте, что нужно искать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение20.01.2019, 12:25 


20/01/19
17
StaticZero в сообщении #1370109 писал(а):
idcradle, приведите определение совместной функции распределения двух случайных величин в виде $F(x, y) = \ldots$

Как $F(x,y)=P((X<x)(Y<y))$?

Цитата:
Да, а после того, как приведёте, в контексте этого определения тыкните пальцем в случайные величины, которые вам надо проанализировать. Тогда вы хотя бы поймёте, что нужно искать.


В контексте данного определения проанализировать нужно $X,Y$
***
как перенести данное знание на мой конкретный случай решительно не понимаю
$F(x_1,...,x_{n+1})=P((X_1<x_1)...(X_{n+1}<x_{n+1}))$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение20.01.2019, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
7368
idcradle в сообщении #1370139 писал(а):
как перенести данное знание на мой конкретный случай решительно не понимаю

А что непонятно? что такое $X$, что такое $Y$, подставили, думаете дальше. Думаете, а не торопитесь сюда писать. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение20.01.2019, 13:13 


20/01/19
17
Otta в сообщении #1370142 писал(а):
idcradle в сообщении #1370139 писал(а):
как перенести данное знание на мой конкретный случай решительно не понимаю

А что непонятно? что такое $X$, что такое $Y$, подставили, думаете дальше. Думаете, а не торопитесь сюда писать. :)

(Оффтоп)

по исходу 3 дня, я уже готов согласиться с тем, что думать нечем
такое впечатление, что я отталкиваюсь от воздуха

Непонятно как искать. Если для ф.р. 2х величин - это двойной интеграл, то что будет в данном случае и как его найти? Или же, с учетом того, что мы ищем распр минимумов нужно просто взять $F(x)=P(X_1<x_1)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение20.01.2019, 14:58 


20/01/19
17
Цитата:
Непонятно как искать. Если для ф.р. 2х величин - это двойной интеграл, то что будет в данном случае и как его найти? Или же, с учетом того, что мы ищем распр минимумов нужно просто взять $F(x)=P(X_1<x_1)?

Или же, мне кажется, что правильнее будет искать как:
$F_{X_{1,n}:X_{1,n+1}}(x,y)=P((X_{1,n}<x)(X_{1,n+1}<y))$, тогда ищем как:
$\sum\limits_{s=1}^{n}\sum\limits_{r=1}^{s}\frac{(n+1)!}{r!(s-r)!(n-s)!}(F(x))^r(F(y)-F(x))^{s-r}(1-F(y))^{n-s}$
Верен ли ход рассуждений? И как посчитать данный момент? Можно ли говорить о том, что $n=2$,т.к. ф-я р. от 2х величин? ведь ищем минимумы
И если распр равномерное, то $F(x)=x$, можно здесь воспользоваться также этим?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение20.01.2019, 15:35 
Аватара пользователя


22/06/12
1413
Оуч...

В условии просят взять две случайные величины $\xi = \min (X_1, \ldots, X_n)$ и $\eta = \min (X_1, \ldots, X_{n+1})$. Потом найти $F(x, y) = \mathsf P(\xi < x, \eta < y)$. Со второй частью марлезонского балета вы, конечно, справились, но вот случайные величины не нашли...

Можно, конечно, задать вопрос "а что такое вообще событие", чтоб вы ещё порылись в учебнике, но я думаю, не нужно.

Возьмём для начала две независимые одинаково распределённые случайные величины $X_1$ и $X_2$, функция распределения $F(x)$ у каждой. Если $x_1, x_2$ есть реализации этих случайных величин, то можно рассмотреть пару этих реализаций как точку на $\mathbb R^2$. Возьмём теперь много реализаций этих пар. Получится много точек на $\mathbb R^2$. Для некоторых точек условие $\min (x_{1i}, x_{2i}) < x$ выполнено (здесь $i$ --- номер точки), для каких-то не выполнено.

Для вас задачка попроще: на плоскости $\mathbb R^2$ нарисовать область, попадание точки в которую удовлетворяет условию $\min (\text{координата1}, \text{координата2}) < x$, где $x$ --- заданное число. Глядя на эту картинку, определите область, где $\min (\text{координата1}, \text{координата2}) \geqslant x$ (не путайте здесь $x$ и координату, $x$ это параметр такой).

-- 20.01.2019 в 15:39 --

idcradle в сообщении #1370152 писал(а):
И если распр равномерное, то F(x)=x, можно здесь воспользоваться также этим?

В исходной формулировке слово "равномерный" не было, и ограничений на область значений случайных величин тоже не было, поэтому 1) $F(x) = x$ не функция распределения 2) равномерное распределение на всей оси --- ну вы поняли...

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.01.2019, 17:56 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
18263
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы - не надо вставлять лишние доллары внутрь формулы.

Заодно верхний предел суммирования поправьте, это все-таки математика, а не программирование, и $n=n+1$ тут несколько неуместно.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.01.2019, 22:49 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
18263
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 00:13 


20/01/19
17
Цитата:
Возьмём для начала две независимые одинаково распределённые случайные величины $X_1$ и $X_2$, функция распределения $F(x)$ у каждой. Если $x_1, x_2$ есть реализации этих случайных величин, то можно рассмотреть пару этих реализаций как точку на $\mathbb R^2$. Возьмём теперь много реализаций этих пар. Получится много точек на $\mathbb R^2$. Для некоторых точек условие $\min (x_{1i}, x_{2i}) < x$ выполнено (здесь $i$ --- номер точки), для каких-то не выполнено.

Для вас задачка попроще: на плоскости $\mathbb R^2$ нарисовать область, попадание точки в которую удовлетворяет условию $\min (\text{координата1}, \text{координата2}) < x$, где $x$ --- заданное число
.
Вот это я все понимаю.
Цитата:
Глядя на эту картинку, определите область, где $\min (\text{координата1}, \text{координата2}) \geqslant x$ (не путайте здесь $x$ и координату, $x$ это параметр такой).

Вот это понимаю не особо.
Но как все это применить к данных входным параметрам не понимаю как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 00:26 
Модератор


20/03/14
9679
idcradle в сообщении #1370331 писал(а):
Вот это я все понимаю.

Хорошо. Область нарисуйте.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group