Su-Schrieffer-Heeger model

[StaticZero]

Читаю некоторую книжку, которую не понял с самого начала

Цитата:

The Su-Schrieffer-Heeger (SSH) model describes electrons hopping on a chain (one-dimensional lattice), with staggered hopping amplitudes, as shown in Fig. 1.1. The chain consist of N unit cells, each unit cell hosting two sites, one on sublattice A, and one on sublattice B. Interactions between the electrons are neglected, and so the dynamics of each electron is described by a single-particle Hamiltonian, of the form

$$ \hat {\mathcal H} = v \sum \limits_{m=1}^N \left( \left| m, A \rangle \langle m, B \right| + \left| m, B \rangle \langle m, A \right| \right) + w \sum \limits_{m=1}^{N-1} \left( \left| m + 1, A \rangle \langle m, B \right| + \left| m, B \rangle \langle m + 1, A \right| \right) $$

Here $\left| m, A \rangle$ and $\left|m, B \rangle$ denote the state of the chain where the electron is on unit cell $m$, in the site on sublattice $A$, respectively, $B$ [...]

Fig. 1.1 такова:


Я не совсем понял, что это за гамильтониан. Вот пусть цепочка состоит из одного звена: $N = 1$. Одночастичный гамильтониан тогда будет

$$ \hat {\mathcal H} = v \left| A \rangle \langle B \right| + v \left| B \rangle \langle A \right| $$

Что из этого нужно понять? Пусть электрон один. Тогда он может занять либо ячейку $A$, либо ячейку $B$. Гамильтониан системы тогда и будет гамильтонианом электрона. Имеем

$$ \hat {\mathcal H} \left| A \rangle = v \langle B \middle| A \rangle \left| A \rangle + v \left| B \rangle $$

$$ \hat {\mathcal H} \left| B \rangle = v \langle A \middle| B \rangle \left| B \rangle + v \left| A \rangle $$

Насколько я могу понять, гильбертово пространство здесь тупо двумерное, в котором взяли две функции $\left| A \rangle$ и $\left| B \rangle$. Без потери общности (наверное?) можно выбрать этот базис сразу ортонормированным, так что

$$ \hat {\mathcal H} \left| A \rangle = v \left| B \rangle $$

$$ \hat {\mathcal H} \left| B \rangle = v \left| A \rangle $$

Слово "hopping" нужно тогда понимать, наверное, в том смысле, что $\left \langle A \middle| \hat {\mathcal H} \middle| B \right \rangle = v$ (хоть и не очень понятно, почему-таки hopping). При этом $\left \langle A \middle| \hat {\mathcal H} \middle| A \right \rangle = \left \langle B \middle| \hat {\mathcal H} \middle| B \right \rangle = 0 $, то есть энергия электрона нулевая в каждом состоянии.

Если мы добавим второй электрон, то гамильтониан всей системы будет каким? Моя логика такая: раз они не взаимодействуют, то тогда $\hat {\mathcal H} = \hat {\mathcal H_1} + \hat {\mathcal H_2}$, где справа одночастичные гамильтонианы. Возьмём один такой:

$$ \hat {\mathcal H_k} = v \left| A \rangle \langle B \right| + v \left| B \rangle \langle A \right| $$

Какими индексами я должен его снабдить, чтобы он относился к $k$-ому электрону? Я подозреваю, что состояние $\left| A \right \rangle$, например, есть состояние именно $k$-ого электрона, находящегося в ячейке $A$. В таком случае мы должны записать

$$ \hat {\mathcal H} = v \left| A, 1 \rangle \langle B, 1 \right| + v \left| B, 1 \rangle \langle A, 1\right| + v \left| A, 2 \rangle \langle B, 2 \right| + v \left| B,2 \rangle \langle A,2 \right| $$

и пространство будет четырёхмерное (функции каждого электрона в каждой ячейке), причем $\left \langle J, j \middle| I, i \right \rangle = \delta_{IJ} \delta_{ij}$. Для матричного элемента будет иметь

$$ \left \langle J, j \middle| \hat {\mathcal H} \middle| I, i \right \rangle = v \delta_{ij} \delta_{|I - J|, 1} $$

прокомментируйте пожалуйста мой поток глупостей. Если тут всё внезапно верно, я готов продолжить разбираться с $N > 1$.

[Munin]

StaticZero в сообщении #1369797 писал(а):

Насколько я могу понять, гильбертово пространство здесь тупо двумерное, в котором взяли две функции $\left| A \rangle$ и $\left| B \rangle$. Без потери общности (наверное?) можно выбрать этот базис сразу ортонормированным,

Более того, это всегда подразумевается: в кет-скобочках пишут состояния (то есть, нормированные), а в данном случае они взаимоисключающие, то есть, ортогональные.

StaticZero в сообщении #1369797 писал(а):

Слово "hopping" нужно тогда понимать, наверное, в том смысле, что $\langle A | \hat {\mathcal H} | B\rangle = v$ (хоть и не очень понятно, почему-таки hopping).

hopping - перпрыгивание из состояния $|A\rangle$ в состояние $|B\rangle$ и обратно.

StaticZero в сообщении #1369797 писал(а):

При этом $\langle A | \hat {\mathcal H} | A \rangle = \langle B | \hat {\mathcal H} | B \rangle = 0 $, то есть энергия электрона нулевая в каждом состоянии.

Ну что вы! Гамильтониан не диагонален. Если его диагонализовать, то получатся ненулевые уровни энергии.

StaticZero в сообщении #1369797 писал(а):

Если мы добавим второй электрон, то гамильтониан всей системы будет каким? Моя логика такая: раз они не взаимодействуют, то тогда $\hat {\mathcal H} = \hat {\mathcal H_1} + \hat {\mathcal H_2}$, где справа одночастичные гамильтонианы. Возьмём один такой:

$$ \hat {\mathcal H_k} = v \left| A \rangle \langle B \right| + v \left| B \rangle \langle A \right| $$

Какими индексами я должен его снабдить, чтобы он относился к $k$-ому электрону? Я подозреваю, что состояние $\left| A \right \rangle$, например, есть состояние именно $k$-ого электрона, находящегося в ячейке $A$. В таком случае мы должны записать

$$ \hat {\mathcal H} = v \left| A, 1 \rangle \langle B, 1 \right| + v \left| B, 1 \rangle \langle A, 1\right| + v \left| A, 2 \rangle \langle B, 2 \right| + v \left| B,2 \rangle \langle A,2 \right| $$

Нет, в книжке индекс $m$ относится не к номеру электрона, а к номеру атома типа $A,$ в котором может "сидеть" электрон. А гамильтониан, записанный в виде

StaticZero в сообщении #1369797 писал(а):

Цитата:

$$ \hat {\mathcal H} = v \sum \limits_{m=1}^N \left( \left| m, A \rangle \langle m, B \right| + \left| m, B \rangle \langle m, A \right| \right) + w \sum \limits_{m=1}^{N-1} \left( \left| m + 1, A \rangle \langle m, B \right| + \left| m, B \rangle \langle m + 1, A \right| \right) $$

- это всё ещё гамильтониан одного электрона.

[StaticZero]

Munin в сообщении #1369816 писал(а):

Нет, в книжке индекс $m$ относится не к номеру электрона, а к номеру атома типа $A,$ в котором может "сидеть" электрон.

Я неявно предположил, что я буду правильно понят. Я имел в виду, конечно, случай $N = 1$, добавляя числовой индекс после буквы состояния для обозначения номера электрона.

-- 19.01.2019 в 00:03 --

Munin в сообщении #1369816 писал(а):

Ну что вы! Гамильтониан не диагонален. Если его диагонализовать, то получатся ненулевые уровни энергии.

Сижу диагонализирую. Пока туплю, давно квантмех не открывал...

Munin в сообщении #1369816 писал(а):

Более того, это всегда подразумевается: в кет-скобочках пишут состояния (то есть, нормированные), а в данном случае они взаимоисключающие, то есть, ортогональные.

Там просто не написано явно, что ортогональные.

[Munin]

StaticZero в сообщении #1369818 писал(а):

Сижу диагонализирую. Пока туплю, давно квантмех не открывал...

$$\begin{pmatrix}0&v\\v&0\end{pmatrix}$$

диагонализируете?

StaticZero в сообщении #1369818 писал(а):

Там просто не написано явно, что ортогональные.

Ну уж! "Атом, в котором сидит электрон" можно считать наблюдаемой, и тогда её базисные состояния ортогональны.

[StaticZero]

Munin в сообщении #1369825 писал(а):

диагонализируете?

Вспоминаю процедуру с неопределёнными коэффициентами. С матрицей получается в один ход, конечно: $E_1 = - v$, $E_2 = +v$. Получающиеся собственные функции тогда будут $\left| \varphi_1 \right \rangle = \frac{\left| A \right \rangle}{\sqrt 2} - \frac{\left| B \right \rangle}{\sqrt 2}$, $\left| \varphi_2 \right \rangle = \frac{\left| A \right \rangle}{\sqrt 2} + \frac{\left| B \right \rangle}{\sqrt 2}$.

-- 19.01.2019 в 00:47 --

Munin в сообщении #1369816 писал(а):

$$ \hat {\mathcal H} = v \left| A, 1 \rangle \langle B, 1 \right| + v \left| B, 1 \rangle \langle A, 1\right| + v \left| A, 2 \rangle \langle B, 2 \right| + v \left| B,2 \rangle \langle A,2 \right| $$

А в двухэлектронном гамильтониане что можно сказать о числе $\left \langle A, 1 \middle| A, 2 \right \rangle$? Я раньше был уверен, что это ноль, а теперь не очень уверен.

-- 19.01.2019 в 01:02 --

Или это бред. Я вспоминаю что волновая функция электронной системы в атоме гелия имеет вид $\Psi (\mathbf r_1, \mathbf r_2)$. Тогда наши состояния должны описывать по идее все электроны сразу, то есть иметь вид

$$ \left| A, A \right \rangle, \ \left| A, B \right \rangle, \ \left| B, A \right \rangle, \ \left| B, B \right \rangle $$

для двух электронов (первое место - первый электрон, второе - второй). Если количество ячеек $N > 1$, то тогда можно нумеровать состояния $\left| A_i, B_k \right \rangle$ - два электрона, первый в ячейке $i$ в состоянии $A$, второй в ячейке $k$ в состоянии $B$ и так далее. Тогда ясно непосредственно, что $\left \langle I, J \middle| I', J' \right\rangle = \delta_{I I'} \delta_{JJ'}$.

[Munin]

StaticZero в сообщении #1369835 писал(а):

А в двухэлектронном гамильтониане что можно сказать о числе $\langle A, 1 | A, 2 \rangle$? Я раньше был уверен, что это ноль, а теперь не очень уверен.

Может, всё-таки об $\langle A, 1 |H| A, 2 \rangle$? А ноль это или не ноль, легко видно из формулы для гамильтониана: есть ли в нём слагаемое вида $C| A, 1 \rangle\langle A, 2 |$?

StaticZero в сообщении #1369835 писал(а):

Или это бред. Я вспоминаю что волновая функция электронной системы в атоме гелия имеет вид $\Psi (\mathbf r_1, \mathbf r_2)$. Тогда наши состояния должны описывать по идее все электроны сразу

Двухчастичные состояния - да. Но они могут быть записаны как произведения одночастичных (здесь используется знак тензорного произведения): $| A_1, B_2 \rangle=| A_1 \rangle\otimes| B_2 \rangle,$ и так далее.

[StaticZero]

Кажется, начинает доходить. Если нумеровать состояния как здесь

StaticZero в сообщении #1369835 писал(а):

$$ \left| A, A \right \rangle, \ \left| A, B \right \rangle, \ \left| B, A \right \rangle, \ \left| B, B \right \rangle $$

числами 1, 2, 3, 4 и обозначать $\psi_k$ (состояния ортогональны), то тогда двухэлектронный гамильтониан должен иметь вид

$$ \hat {\mathcal H} = v \left( \left| \psi_1 \right \rangle \left \langle \psi_2 \right| + \left| \psi_2 \right \rangle \left \langle \psi_1 \right| + \left| \psi_3 \right \rangle \left \langle \psi_4 \right| + \left| \psi_4 \right \rangle \left \langle \psi_3 \right| \right) $$

Пусть $\Psi = r_k \psi_k$. Тогда матрица $\hat {\mathcal H}$ будет

$$ \begin{pmatrix} 0 & v & 0 & 0 \\ v & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & v \\ 0 & 0 & v & 0 \end{pmatrix} $$

собственные значения у неё $\pm v$, но вырождены уже двукратно. Для значения $E = +v$ можно предложить собственные функции

$$ \begin{pmatrix} 1/\sqrt 2 \\ 1/\sqrt 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1/\sqrt 2 \\ 1/\sqrt 2 \end{pmatrix} $$

для значения $E = -v$ будет

$$ \begin{pmatrix} 1/\sqrt 2 \\ -1/\sqrt 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1/\sqrt 2 \\ -1/\sqrt 2 \end{pmatrix} $$

И мы можем это построение повторить для любого числа $M$ электронов: вырождение будет $M$-кратным, и базисные функции для значения $E = +v$ можно построить, просто сдвигая блок из половинок вниз на два для каждой; аналогично $E = -v$.

-- 19.01.2019 в 02:31 --

Munin в сообщении #1369872 писал(а):

Может, всё-таки об $\langle A, 1 |H| A, 2 \rangle$? А ноль это или не ноль, легко видно из формулы для гамильтониана: есть ли в нём слагаемое вида $C| A, 1 \rangle\langle A, 2 |$?

Вопрос отпал, я сам себя запутал.

-- 19.01.2019 в 02:34 --

StaticZero в сообщении #1369879 писал(а):

$$ \begin{pmatrix} 1/\sqrt 2 \\ 1/\sqrt 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1/\sqrt 2 \\ 1/\sqrt 2 \end{pmatrix} $$

Вот на примере этой пары хочется увидеть смысл этих состояний. Первое, как я могу усмотреть, это состояние, в котором первый электрон всегда сидит в ячейке $A$, а второй "размазан". Второе, соответственно, это состояние, в котором первый электрон сидит в ячейке $B$, а второй "размазан".

-- 19.01.2019 в 02:38 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1369872 писал(а):

тензорного произведения

К сожалению, этим аппаратом не владею. Надо бы ознакомиться.

[Munin]

StaticZero в сообщении #1369879 писал(а):

К сожалению, этим аппаратом не владею.

На координатном языке это просто $\Psi_{A,B}(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2)=\Psi_{A}(\mathbf{r}_1)\Psi_{B}(\mathbf{r}_2).$

[StaticZero]

StaticZero в сообщении #1369879 писал(а):

Кажется, начинает доходить. Если нумеровать состояния как здесь

StaticZero в сообщении #1369835 писал(а):

$$ \left| A, A \right \rangle, \ \left| A, B \right \rangle, \ \left| B, A \right \rangle, \ \left| B, B \right \rangle $$

А теперь учтём, что так нельзя. Двухчастичные состояния в одной ячейке для фермионов могут быть только $\left| A, B \right \rangle$ и $\left| B, A \right \rangle$ (принцип Паули). Тогда гамильтониан

$$ \hat {\mathcal H} = v \left| B, A \right \rangle \left \langle A, B \right| + v \left| A, B \right \rangle \left \langle B, A \right| $$

и тогда волновая функция реально одна:

$$ \Psi = \frac{\left| A, B \right \rangle - \left| B, A \right \rangle}{\sqrt 2} $$

и тогда $\hat{\mathcal H} \Psi = - v \Psi$. Второе собственное значение $+v$ тоже есть, но волновая функция, ему отвечающая, тождественный ноль. Теперь я понял, что именно имеется в виду под single-occupied negative energy states.

-- 19.01.2019 в 14:30 --

Я теперь хочу написать двухэлектронный гамильтониан для двух ячеек. Для этого я должен взять состояния $\left| A_1, B_1 \right \rangle$, $\left| B_1, A_1 \right \rangle$, $\left| A_1, B_2 \right \rangle$, $\left| B_2, A_1 \right \rangle$, $\left| A_2, B_1 \right \rangle$, $\left| B_1, A_2 \right \rangle$, $\left| A_2, B_2 \right \rangle$, $\left| B_2, A_2 \right \rangle$ .Занумерую их 1...8. Эти состояния ортогональны.

Моя гипотеза:

$$\begin{align*} \hat {\mathcal H} &= v \left| B_1, A_1 \right \rangle \left \langle A_1, B_1 \right| + v \left| A_1, B_1 \right \rangle \left \langle B_1, A_1 \right| + \\ &+ v\left| B_2, A_2 \right \rangle \left \langle A_2, B_2 \right| +v \left| A_2, B_2 \right \rangle \left \langle B_2, A_2 \right| + \\ &+ w\left| B_1, A_2 \right \rangle \left \langle A_2, B_1 \right| + w\left| A_2, B_1 \right \rangle \left \langle B_1, A_2 \right| \end{align*}$$

так что

$$\begin{align*} \hat {\mathcal H} \left| 1 \right \rangle &= v \left| 2 \right \rangle \\ \hat {\mathcal H} \left| 2 \right \rangle &= v \left| 1 \right \rangle \\ \hat {\mathcal H} \left| 3 \right \rangle &= 0 \\ \hat {\mathcal H} \left| 4 \right \rangle &= 0 \\ \hat {\mathcal H} \left| 5 \right \rangle &= w \left| 6 \right \rangle \\ \hat {\mathcal H} \left| 6 \right \rangle &= w \left| 5 \right \rangle \\ \hat {\mathcal H} \left| 7 \right \rangle &= v \left| 8 \right \rangle \\ \hat {\mathcal H} \left| 8 \right \rangle &= v \left| 7 \right \rangle \end{align*}$$

Проконтролируйте меня, пожалуйста, что я всё верно понял.

Матрица оператора Гамильтона будет тогда

$$ \begin{pmatrix} 0 & v & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & w & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & w & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & v \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & v & 0 \\ \end{pmatrix} $$

[Munin]

StaticZero в сообщении #1369949 писал(а):

А теперь учтём, что так нельзя. Двухчастичные состояния в одной ячейке для фермионов могут быть только $\left| A, B \right \rangle$ и $\left| B, A \right \rangle$ (принцип Паули).

Нет, принцип Паули нельзя применять так напрямую. Надо честно антисимметризовать состояния.

До антисимметризации у вас были произвольные (нормированные, но про это забудем) линейные комбинации четырёх базисных состояний:

$$\Psi=\begin{matrix}{}\mathbin{\hphantom{+}}C_{AA}|A,A\rangle & {}+C_{AB}|A,B\rangle\hphantom{.} \\ {}+C_{BA}|B,A\rangle & {}+C_{BB}|B,B\rangle.\end{matrix}$$

Условие антисимметризации выглядит так: $\Psi=-\Psi(1\leftrightarrow 2).$ Это приводит к условиям

$$\begin{matrix} C_{AA}=-C_{AA} \\ C_{AB}=-C_{BA} \\ C_{BB}=-C_{BB} \end{matrix} \qquad \Psi=\begin{matrix} & {}+C_{AB}|A,B\rangle \\ {}-C_{AB}|B,A\rangle. & \end{matrix}$$

Таким образом, для двух частиц в двух ячейках (игнорируя спин!) получается только одно двухчастичное состояние $\tfrac{1}{\!\!\!\!\sqrt{2}}(|A,B\rangle-|B,A\rangle).$

Поупражняйтесь в этой процедуре для 3, 4 состояний, чтобы "прочувствовать" её. Ну и только потом уже занимайтесь гамильтонианами.

[StaticZero]

Munin, если в отрыве от исходной модели, то можно представить ящики $1$, $2$, $3$, $\ldots$ и два электрона. Тогда будут состояния $\left| 11 \right \rangle$, $\left| 12 \right \rangle$, $\left| 21 \right \rangle$, $\ldots$. Имеем

$$ \left |\Psi \right \rangle = \sum \limits_{ij} c_{ij} \left| ij \right \rangle = \sum \limits_{i = j} c_{ii} \left| ii \right \rangle + \sum \limits_{i \ne j} c_{ij} \left| i j \right \rangle, $$

переставляем электроны в каждом кете

$$ \left | \Psi' \right \rangle = \sum \limits_{i = j} c_{ii} \left| ii \right \rangle + \sum \limits_{i \ne j} c_{ij} \left| j i \right \rangle $$

условие антисимметричности $\left| \Psi \right \rangle + \left| \Psi' \right \rangle = 0$

$$ 0 \equiv 2\sum \limits_{i = j} c_{ii} \left| ii \right \rangle + \sum \limits_{i \ne j} (c_{ij} + c_{ji}) \left| i j \right \rangle $$

откуда $c_{ii} \equiv 0$, $c_{ij} \equiv - c_{ji}$. Функция тогда имеет вид

$$ \left| \Psi \right \rangle = \frac{1}{2} \sum \limits_{i \ne j} c_{ij} \Big[ \left| i j \right \rangle - \left| j i \right \rangle \Big] $$

Соответствующий бра

$$ \left \langle \Psi \right| = \frac{1}{2} \sum \limits_{i \ne j} c_{ij}^* \Big[ \left \langle i j \right| - \left \langle j i \right | \Big] $$

Нормировка

$$ \begin{align*} 1 &= \left \langle \Psi \middle| \Psi \right \rangle = \frac{1}{4} \sum \limits_{i \ne j} \sum \limits_{i' \ne j'} c_{ij} c_{i' j'}^* \left( \left \langle i' j' \middle| i j \right \rangle + \left \langle j' i' \middle| j i \right \rangle - \left \langle i' j' \middle| j i \right \rangle - \left \langle j' i' \middle| i j \right \rangle \right) = \\ &= \frac{1}{2} \sum \limits_{i \ne j} \sum \limits_{i' \ne j'} c_{ij} c_{i' j'}^* \left( \delta_{ii'} \delta_{jj'} - \delta_{j i'} \delta_{i j'} \right) = \sum \limits_{j \ne i} |c_{ij}|^2 = 2 \sum \limits_{i < j} |c_{ij}|^2. \end{align*}$$

[Munin]

Угу. Теперь возьмём 4 ящика $A_1,A_2,B_1,B_2.$ Сколькимерным получается пространство функций? Каковы его базисные векторы?

[StaticZero]

Munin в сообщении #1370033 писал(а):

Сколькимерным получается пространство функций?

$$\binom{4}{2}=6$$

Munin в сообщении #1370033 писал(а):

Каковы его базисные векторы?

$$ \Phi_{ij} = \left| i j \right \rangle - \left| j i \right \rangle, \quad 1 \leqslant i < j \leqslant 4 $$

Здесь $1 = \left| A_1 \right \rangle$, $2 = \left| B_1 \right \rangle$, $3 = \left| A_2 \right \rangle$, $4 = \left| B_2 \right \rangle$

[Munin]

Теперь получше. Теперь можно попробовать и гамильтонианы пописать.

[StaticZero]

Если $\mathscr H$ --- одноэлектронное пространство с базисом $\left| i \right \rangle$, $i = 1, \ldots, 4$, то двухэлектронное пространство должно быть $\mathscr H \otimes \mathscr H$ (то есть линейная оболочка шестнадцати векторов $\left| i \right \rangle \otimes \left| j \right \rangle$). Выше показано, что двухэлектронный кет $\left| \Psi \right \rangle$ является правильным, если он лежит в линейной оболочке векторов $\left| \Phi_{ij} \right \rangle$, которая в двухэлектронном пространстве образует подпространство.

Вопрос. Состояния $\left| i i \right \rangle$ вообще невозможны; то есть мы должны задать сами такое правило тензорного произведения одинаковых кетов, чтобы получался тождественный ноль?

Опять же, насколько я знаю, можно в $\mathscr H \otimes \mathscr H$ определить оператор $\mathcal G \otimes \mathcal H$ такой, что на базисный вектор $\left| i \right \rangle \otimes \left| j \right \rangle$ он действует по правилу $\mathcal G \left| i \right \rangle \otimes \mathcal H \left| j \right \rangle$. Если в своих пространствах $\mathcal G$ и $\mathcal H$ являются линейными, то и $\mathcal G \otimes \mathcal H$ будет линейным.

Если частицы не взаимодействуют, то можно разложить гамильтониан $\mathcal H$ на одноэлектронные:

$$ \mathcal H = \mathcal H_1 \otimes \mathcal I + \mathcal I \otimes \mathcal H_2 $$

каждый из которых написан в книжке. Тогда на состояние $\left| i j \right \rangle$ гамильтониан действует по правилу

$$ \mathcal H \left| i j \right \rangle = (\mathcal H_1 \left| i \right \rangle) \otimes \left| j \right \rangle + \left| i \right \rangle \otimes (\mathcal H_2 \left| j \right \rangle) $$

$$\begin{align*} \hat {\mathcal H} &= v \left| 1 \right \rangle \left \langle 2 \right| + v \left| 2 \right \rangle \left \langle 1 \right| + \\ &+ v\left| 3 \right \rangle \left \langle 4 \right| +v \left|4 \right \rangle \left \langle 3 \right| + \\ &+ w\left| 2\right \rangle \left \langle 3\right| + w\left| 3 \right \rangle \left \langle 2\right| = \\ &= (v \left| 1 \right \rangle + w \left| 3 \right \rangle) \left \langle 2 \right| + \\ &= (v \left| 4 \right \rangle + w \left| 2 \right \rangle) \left \langle 3 \right| + \\ &= v \left| 2 \right \rangle \left \langle 1 \right| + v \left| 3 \right \rangle \left \langle 4 \right| \end{align*}$$

$$ \begin{align*} \hat {\mathcal H} \left| 1 \right \rangle &= v \left| 2 \right \rangle \\ \hat {\mathcal H} \left| 4 \right \rangle &= v \left| 3 \right \rangle \\ \hat {\mathcal H} \left| 2 \right \rangle &= v \left| 1 \right \rangle+ w \left|3 \right \rangle \\ \hat {\mathcal H} \left| 3 \right \rangle &= v \left| 4 \right \rangle + w \left| 2 \right \rangle \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \hat {\mathcal H} \left| 1 2 \right \rangle = v \left| 22 \right \rangle + v \left| 11 \right \rangle + w \left| 1 3 \right \rangle = w \left| 1 3 \right \rangle \\ \hat {\mathcal H} \left| 2 1 \right \rangle = v \left| 11 \right \rangle + v \left| 22 \right \rangle + w \left| 3 1 \right \rangle = w \left| 3 1 \right \rangle \\ \hat {\mathcal H} \Phi_{12} = w \Phi_{13} \end{align*} $$

и дальше в таком духе?

-- 20.01.2019 в 02:33 --

Расписал действие гамильтониана на базисные векторы двухэлектронных состояний. Оказывается, что гамильтониан не выводит из подпространства правильных функций:

$$ \begin{align*} \hat{\mathcal H} \Phi_{12} &= w \Phi_{13} \\ \hat{\mathcal H} \Phi_{13} &= v \Phi_{23} + v \Phi_{14} + w \Phi_{12} \\ \hat{\mathcal H} \Phi_{14} &= v \Phi_{24} + v \Phi_{13} \\ \hat{\mathcal H} \Phi_{23} &= v \Phi_{13} + v \Phi_{24} \\ \hat{\mathcal H} \Phi_{24} &= v \Phi_{14} + v \Phi_{23} + w \Phi_{34} \\ \hat{\mathcal H} \Phi_{34} &= w \Phi_{24} \end{align*} $$

-- 20.01.2019 в 02:33 --

Если все правильно, то тогда с многоэлектронным рассмотрением я закончу; так, главное, чтобы было понятно, как из книжного упрощения восстановить полную картину.