Простая задача из теории вероятностей

[Cryohron]

Среднее изменение курса акций компании в течение одних биржевых торгов составило 1%, а среднеквадратическое отклонение оценивается как 0,5%. Оценить вероятность p того, что на ближайших торгах курс изменится менее, чем на 2%.
Приведен ответ: p $\geqslant$ 0,6094

Для оценки вероятности неравенством Чебышёва данных многовато, а если сослаться на ЦПТ и посчитать по нормальному распределению, то это уже и не оценка получается. Что-то у меня ум за разум зашёл. ))

[Cash]

Почему для Чебышёва данных многовато? В самый раз, на мой взгляд.
Вот только по нему вероятность оценивается как $p\geqslant 0,75$ .
А ваш ответ соответствует порогу изменения курса 1.8%

[Cryohron]

X - изменение курса акций компании в течение одних биржевых торгов
Два варианта решения в зависимости от того, как понимать вопрос задачи.
1. Оценим вероятность того, что изменение курса (случайная величина X) не превысит 2%.
Неравенство Чебышёва:

$P\left\lbrace\left\lvert X \right\rvert \geqslant \varepsilon \right\rbrace \leqslant \frac{MX}{\varepsilon} $

$P\left\lbrace\left\lvert X \right\rvert \leqslant \varepsilon \right\rbrace \geqslant1 - \frac{MX}{\varepsilon} $

$P\left\lbrace\left\lvert X \right\rvert \leqslant 2 \right\rbrace \geqslant1 - \frac{1}{2} $

$P\left\lbrace\left\lvert X \right\rvert \leqslant 2 \right\rbrace \geqslant\frac{1}{2} $

Значение $DX=\sigma^2=0,25$ не использовалось.

2. Оценим вероятность того, что "изменение изменения" курса (случайной величины X) относительно среднего значения не превысит 2%.
Неравенство Чебышёва:

$P\left\lbrace\left\lvert X - MX\right\rvert \geqslant \varepsilon \right\rbrace \leqslant \frac{DX}{\varepsilon^2} $

$P\left\lbrace\left\lvert X - MX\right\rvert \leqslant \varepsilon \right\rbrace \geqslant1 - \frac{DX}{\varepsilon^2} $

$P\left\lbrace\left\lvert X - MX\right\rvert \leqslant 2 \right\rbrace \geqslant1 - \frac{1}{16} $

$P\left\lbrace\left\lvert X - MX\right\rvert \leqslant 2 \right\rbrace \geqslant \frac{15}{16} $

Значение $MX=1$ не использовалось.

Что, вообще, происходит?

[mihaild]

Cryohron в сообщении #1369284 писал(а):

$P\left\lbrace\left\lvert X \right\rvert \geqslant \varepsilon \right\rbrace \leqslant \frac{MX}{\varepsilon} $

Это не неравенство Чебышева. И вообще неправда.

Cryohron в сообщении #1369284 писал(а):

$P\left\lbrace\left\lvert X - MX\right\rvert \leqslant 2 \right\rbrace \geqslant \frac{15}{16} $

Значение $MX=1$ не использовалось.

Ну так у вас и получилась оценка на $P(|X - EX| \leqslant 2)$. А надо было получить оценку на $P(X < 2)$.

[Cryohron]

mihaild в сообщении #1369288 писал(а):

Cryohron в сообщении #1369284 писал(а):

$P\left\lbrace\left\lvert X \right\rvert \geqslant \varepsilon \right\rbrace \leqslant \frac{MX}{\varepsilon} $

Это не неравенство Чебышева. И вообще неправда.

Согласен, это неравенство Маркова, но вроде бы правда:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Маркова

[mihaild]

В неравенстве Маркова говорится о положительных величинах (а для них не нужен модуль).

[Cryohron]

Читал форум. Много думал.

$P\left\lbrace X<2 \right\rbrace - ?$

Неравенство Чебышёва:

$P\left\lbrace\left\lvert X - MX\right\rvert \geqslant \varepsilon \right\rbrace \leqslant \frac{DX}{\varepsilon^2} $

$P\left\lbrace\left\lvert X - MX\right\rvert \leqslant \varepsilon \right\rbrace \geqslant1 - \frac{DX}{\varepsilon^2} $

$P\left\lbrace -\varepsilon \leqslant X - MX \leqslant \varepsilon \right\rbrace \geqslant1 - \frac{DX}{\varepsilon^2} $

$P\left\lbrace MX -\varepsilon \leqslant X \leqslant MX +\varepsilon \right\rbrace \geqslant1 - \frac{DX}{\varepsilon^2} $

$P\left\lbrace 1 -\varepsilon \leqslant X \leqslant 1 +\varepsilon \right\rbrace \geqslant1 - \frac{1}{4\varepsilon^2} $

Чтобы выполнялось условие $X<2$ выберем $\varepsilon=1$

$P\left\lbrace 0 \leqslant X \leqslant 2 \right\rbrace \geqslant1 - \frac{1}{4} $

$P\left\lbrace 0 \leqslant X \leqslant 2 \right\rbrace \geqslant0,75$

$P\left\lbrace X<2 \right\rbrace \geqslant0,75$

Ответ справедлив, если $X>0$, т.е берется модуль изменения курса акций в течение одних биржевых торгов. Если же это не так, то для оценки вероятности не обойтись без предположения о виде распределения. Я так думаю.

[--mS--]

Cryohron в сообщении #1369531 писал(а):

$P\left\lbrace 0 \leqslant X \leqslant 2 \right\rbrace \geqslant0,75$

$P\left\lbrace X<2 \right\rbrace \geqslant0,75$

Ответ справедлив, если $X>0$, т.е берется модуль изменения курса акций в течение одних биржевых торгов. Если же это не так, то для оценки вероятности не обойтись без предположения о виде распределения.

Конечно, нет. Всегда $\mathsf P(X<2) \geqslant \mathsf P(0 < X < 2) \geqslant 0{,}75$.

[Cryohron]

--mS-- в сообщении #1403522 писал(а):

Cryohron в сообщении #1369531 писал(а):

$P\left\lbrace 0 \leqslant X \leqslant 2 \right\rbrace \geqslant0,75$

$P\left\lbrace X<2 \right\rbrace \geqslant0,75$

Ответ справедлив, если $X>0$, т.е берется модуль изменения курса акций в течение одних биржевых торгов. Если же это не так, то для оценки вероятности не обойтись без предположения о виде распределения.

Конечно, нет. Всегда $\mathsf P(X<2) \geqslant \mathsf P(0 < X < 2) \geqslant 0{,}75$.

Да, конечно! Спасибо!