Зорич V 6.7 c)

[Paul Ivanov]

Рассматривается частный случай движения точки в центральном поле гуковских сил на комплексной плоскости. То есть $z(t)=x(t)+iy(t)$ и при этом принимаем, что $\ddot{z}(t)=-z(t)$.
Привожу оригинальный текст пунктов b) и с) данной задачи

b) Учитывая, что величина $|\dot{z}(t)|^2+|z(t)|^2$ не меняется в процессе движения точки $z(t)$, подчинённого уравнению $\ddot{z}(t)=-z(t)$, проверьте, что точка $\omega(t)=z^2(t)$ по отношению к новому параметру (времени) $\tau$, связанному с $t$ соотношением $\tau=\tau(t)$ таким, что $\frac{d\tau}{dt}=|z(t)|^2$, движется при этом, подчиняясь уравнению $\frac{d^2\omega}{d\tau^2}=-c\frac{\omega}{|\omega|^3}$, где $c$ - постоянная, а $\omega=\omega(t(\tau))$. Таким образом, движения в центральном поле гуковских сил и движения в ньютоновском поле оказались взаимосвязаны.
с) Сопоставьте это с результатом задачи 8 из §5 и докажите теперь эллиптичность планетных орбит.

Результат данной задачи 8 заключается в том, что любой эллипс на комплексной плоскости с центром в нуле при его возведении в квадрат (то есть каждая точка эллипса, как комплексное число, возводится в квадрат) переходит в эллипс с фокусом в нуле. Это можно считать доказанным, так же как можно считать доказанным то, что $\frac{d^2\omega}{d\tau^2}=-c\frac{\omega}{|\omega|^3}$ если $\ddot{z}(t)=-z(t)$.
Не очень понятно, как эта формула устанавливает чёткую связь гуковских орбит с планетными орбитами. По идее нужно показать, что если у нас есть следующее равенство: $\ddot{z}(t)=-k\frac{z(t)}{|z(t)|^3}$ где $k>0$, то $z(t)$ движется по эллипсу (вырожденные случаи типа окружности, отрезка и точки или чего ещё не рассматриваем). Но как это сделать с помощью пункта b) и задачи 8 я не понимаю.

[Munin]

Ну вы гуковские-то орбиты знаете? Предыдущая задача V § 6 №6. Они и есть те самые эллипсы с центром в нуле.

[Paul Ivanov]

Просто у меня не выходит всё гладко, если предполагать, что гуковские орбиты - и есть те самые эллипсы с центром в нуле. Что если $w(t)$, как квадрат $z(t)$ не удовлетворяет первому уравнению $\ddot{w}(t)=-k\frac{w(t)}{|w(t)|^3}$, ведь это уравнение не аналогично второму уравнению $\frac{d^2\omega}{d\tau^2}=-k\frac{\omega}{|\omega|^3}$, так как во втором уравнении мы пользуемся введённым параметром времени. Если бы второе уравнение выглядело так $\frac{d^2\omega}{dt^2}=-k\frac{\omega}{|\omega|^3}$, где $w=z^2(t)$, то это ещё можно было бы как-то понять, но из-за этого параметра времени я не могу уловить суть. Прошу немного разжевать, так как меня похоже переклинило.

[Munin]

Paul Ivanov в сообщении #1367479 писал(а):

Что если $w(t)$, как квадрат $z(t)$ не удовлетворяет первому уравнению $\ddot{w}(t)=-k\frac{w(t)}{|w(t)|^3}$

А это и не нужно. Нужно, чтобы линия переходила в линию. А как она будет параметризована временем - в этом месте не важно. (Как раз наоборот, сопоставляя линию линии, можно потом сопоставить и одно время другому времени.)

[vpb]

Смотрите. Есть 4 переменные величины: $t$, $\tau$, $z$ и $w$. Две из них --- комплексные числа (=векторы на плоскости), а две --- обычные числа. Все их можно рассматривать как функции от одной переменной $t$. Но заметим, что производная $\tau$ по $t$ всегда положительна, поэтому $\tau(t)$ --- монотонно возрастающая функция. Поэтому можно, наоборот, считать, что $t$ --- функция от $\tau$, и $z$, $w$ тоже считать функциями от $\tau$. Как функция от $\tau$, $w$ удовлетворяет уравнению $\frac{d^2w}{d\tau^2}=-cw/|w|^3$, т.е. уравнению движения в гравитационном поле. Значит, кривая, которую $w$ описывает, есть траектория движения в гравитационном поле. Но эта же кривая есть образ эллипса с центром в нуле при возведении в квадрат. А этот образ --- это эллипс с фокусом в нуле. Вот и получается, что планетные орбиты --- это эллипсы с фокусом в нуле. А как функция от $t$, $w$ уравнению движения в гр. поле, конечно, не удовлетворяет.

(Это рассуждение типа "если $A=B$, $B=C$ и $C=D$, то $A=D$", где $A,B,C,D$ --- не числа, а некоторые кривые).

[Paul Ivanov]

vpb, возможно я ошибаюсь, но мне кажется в ваших рассуждениях есть один пробел. Что если существует некоторая функция $\Psi(\tau)$, которая удовлетворяет равенству $\frac{d^2\Psi}{d\tau^2}=-c\Psi/|\Psi|^3$, но которая при этом не может быть приравнена некоторому $z^2(t(\tau))$ при условии, что $\ddot{z}(t)=-z(t)$. Тогда мы получаем, что данная взаимосвязь гуковских и гравитационных орбит работает только на определённой частной группе функций $\omega(\tau)$ для которых верно, что $\omega(\tau)=z^2(t(\tau))$ и $\ddot{z}(t)=-z(t)$. Как бы тогда обобщить ваши рассуждения на случай произвольных $\omega$, удовлетворяющих гравитационному уравнению?

[Munin]

Есть такая функция: это неэллиптические кеплеровские орбиты, то есть параболические и гиперболические. Но вас же не о них спрашивают?

[Paul Ivanov]

Munin меня о них не спрашивают, но с меня спрашивают строгое доказательство эллиптичности планетных орбит, показывающее, что, какой-бы ни была функция $\omega(t)$, если $\frac{d^2\omega}{dt^2}=-k\frac{\omega(t)}{|\omega(t)|^3}$, то орбита является эллипсом, а vpb получается предлагает доказательство в котором $\omega$ удовлетворяет гравитационному уравнению только в частном случае. Доказательство было бы верным, если бы мы пошли путём подобным тому, который предлагает vpb, но только в обратном направлении, то есть показали бы, что если нам дана произвольная функция $\omega(t)$, такая, что $\frac{d^2\omega}{dt^2}=-k\frac{\omega(t)}{|\omega(t)|^3}$, то для неё можно подобрать новый параметр времени $\tau$, связанный с изначальным $t$ некоторым соотношением, такой что если $z(t)=\omega^{\frac{1}{2}}(t)$, то $\frac{d^2z}{d\tau^2}=-kz(t(\tau))$. Тогда действительно получится, что какой бы ни была $\omega(t)$ - она эллиптична. Но для этого нужно ещё правильно подобрать соотношение $\tau$ и $t$, а делать этого не очень хочется, может есть другие варианты?

[Munin]

Paul Ivanov в сообщении #1367773 писал(а):

но с меня спрашивают строгое доказательство эллиптичности планетных орбит, показывающее, что, какой-бы ни была функция $\omega(t)$, если $\frac{d^2\omega}{dt^2}=-k\frac{\omega(t)}{|\omega(t)|^3}$, то орбита является эллипсом

Можете смело сказать, что это неверно, упомянув параболические и гиперболические :-)

А потом всё-таки подумайте и осознайте, что с вас спрашивают на самом деле.

Paul Ivanov в сообщении #1367773 писал(а):

Доказательство было бы верным, если бы мы... показали бы, что если нам дана произвольная функция $\omega(t)$, такая, что $\frac{d^2\omega}{dt^2}=-k\frac{\omega(t)}{|\omega(t)|^3}$

А вот этого вы не сможете. Это будет верно только для периодических таких функций. (Или ограниченных сверху по модулю. В данном случае - и только в данном - это эквивалентные ограничения.)

-- 11.01.2019 17:43:09 --

Paul Ivanov в сообщении #1367773 писал(а):

может есть другие варианты?

Есть, конечно. Сначала преобразовать эллипс в эллипс, а потом доказать, что для нового эллипса верно уравнение движения (с неким новым временем).

[Paul Ivanov]

Munin в сообщении #1367789 писал(а):

Можете смело сказать, что это неверно, упомянув параболические и гиперболические

Так, хорошо, я всё это время, доверяя пункту c) думал, что планетные орбиты могут быть только эллиптическими .

Munin в сообщении #1367789 писал(а):

А потом всё-таки подумайте и осознайте, что с вас спрашивают на самом деле.

С меня спрашивают "доказать эллиптичность планетных орбит". Но ведь тогда с меня спрашивают доказательство того, что неверно. Или я как-то неправильно понимаю, что такое планетная орбита? Или может я неправильно понимаю, что значит эллиптичность?

[Munin]

Paul Ivanov в сообщении #1367804 писал(а):

я всё это время, доверяя пункту c) думал, что планетные орбиты могут быть только эллиптическими :oops: .

Планетные - эллиптическими (потому что планета - это то, что крутится вокруг звезды постоянно), а вот кеплеровские - трёх типов. Вы вообще с основами кеплеровского движения знакомы? В объёме школьной астрономии.

[Paul Ivanov]

Ну так тогда всё равно доказательство, которое предлагал vpb неполное, так как надо ещё доказать, что любая планетная орбита $\omega(t)$ может быть задана как $z^2(t)$ со всеми соответствующими свойствами (через параметр времени и согласно движению в поле гуковских сил). Иначе где гарантия, что не найдётся какая-нибудь иная планетная орбита отличная от окружности и эллипса. И да, я действительно никогда не увлекался астрономией.

[vpb]

Paul Ivanov
Да, я не очень внимательно посмторел на задачу. Ясно, что первоначальная формулировка неудачна (так как не всякая орбита движения по закону $\frac{d^2w}{d\tau^2}=-c\frac{|w|}{w^3}$ эллиптическая).

Я думаю, что кроме движения в гуковском поле по закону $\ddot z=-z$, надо рассматривать "псевдогуковское" движение с отрицательной жесткостью, по закону $\ddot z=z$, а также свободное движение $\ddot z=0$. Траектория первого из этих движений --- это ветвь гиперболы, центр симметрии которой есть $0$, а второго --- прямая. При отображении $w=z^2$ они переходят в гиперболу и параболу, соответственно, фокус которых есть $0$. Но соответствующее движение по прежнему описывается уравнением $\frac{d^2w}{d\tau^2}=-c\frac{|w|}{w^3}$.

Потом надо показать, что любое движение, удовлетворяющее последнему закону, получается из движения в гуковском или псевдогуковском поле. Как это показать --- не знаю, наверное, не очень просто (я не думал, честно говоря). В общем, это довольно сложная задача (как и многие задачи в Зориче), и ее можно пропустить без особого ущерба для понимания
матанализа. Тем более решить ее, не пройдя предварительно аналитическую геометрию и основы дифференциальных уравнений, было бы затруднительно.