2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 03:09 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
Для любых ли взаимно простых $n>m>1$ разрешимо уравнение $(x+1)(x+2)...(x+n)=(y+1)(y+2)...(y+m)$, и всегда ли число решений конечно?
Все переменные целые положительные числа. Решения у меня нет, только примеры.

$5 \cdot 6 \cdot 7=14 \cdot 15

2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6=8 \cdot 9 \cdot 10$

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 04:09 
Заслуженный участник


20/08/14
5674
Россия, Москва
Ну что при любом фиксированном $n$ число решений конечно - очевидно: и слева и справа записано одно и то же число, по разному сгруппированное из разложения по степеням простых, но количество вариантов группировок всегда конечно.
Вот единственно ли решение при данном $n$ - вопрос.
Ещё примеры:
$2\cdot3\cdot4\cdot5=4\cdot5\cdot6$
$2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7=7\cdot8\cdot9\cdot10$ - тут не взаимно простые $n$ и $m$ получились
$8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14=63\cdot64\cdot65\cdot66$

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 04:34 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
Почему одно число, $n$ и $m$ это количество множителей в левой и правой частях равенства, а числа могут быть разные. С кратными $n,m$ такое чувство что решения будут не всегда, поэтому взял вз. простые. С примерами, вижу, у нас хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 04:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7942
Diкий Запад
Andrey A в сообщении #1368773 писал(а):
Почему одно число, $n$ и $m$ это количество множителей в левой и правой частях равенства, а числа могут быть разные.
Потому что
Andrey A в сообщении #1368769 писал(а):
$(x+1)(x+2)...(x+n)=(y+1)(y+2)...(y+m) = K$
- какое-то одно число, которое единственным образом раскладывается на произведение степеней простых. В указанном равенстве эти простые и их степени сгруппированы различным образом слева и справа, чтобы образовывать требуемые сомножители, но количество таких группировок, очевидно, может быть только конечным.

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 04:58 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
А почему другого $K$ не может быть при других $x,y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 05:11 
Заслуженный участник


20/08/14
5674
Россия, Москва
Dmitriy40 в сообщении #1368771 писал(а):
Вот единственно ли решение при данном $n$ - вопрос.
Нет, не единственно:
$2\cdot3\cdot4\cdot5=4\cdot5\cdot6$
$19\cdot20\cdot21\cdot22=55\cdot56\cdot57$
и
$3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11=5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12$
$5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\cdot13=8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14\cdot15$

Для $n=8,10..50$ решений не найдено.

UPD. Поправка, для $n=16$ решение есть:
$4\cdot\ldots\cdot19=6\cdot\ldots\cdot20$

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 05:14 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
Вот я как раз об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 05:41 
Заслуженный участник


20/08/14
5674
Россия, Москва
Хм, что-то у меня программа привирает похоже ... Ведь не нашла вот такие очевидные решения:
$3\cdot4\cdot5\cdot\ldots\cdot11=5\cdot\ldots\cdot11\cdot12$

$2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot\ldots\cdot23=5\cdot\ldots\cdot23\cdot24$

И по такой схеме их можно понастроить много. Как бы даже не бесконечно много (для разных $n$).

-- 15.01.2019, 06:05 --

Да, бесконечно много: для $n=z^2$ решением будет например $(z+0)(z+1)(z+2)\ldots(z+z^2-1)=(z+2)\ldots(z+z^2-1)(z+z^2)$.
Аналогично можно отрезать слева не две, а три, четыре, пять, ..., $k$ цифр. Как и добавлять справа можно не по одной, а больше. Вариантов море, для разных $n$. И чем дальше, тем больше.
Но для любого фиксированного $n$ количество решений всегда ограничено (если существуют) количеством вариантов группировок множителей в разложении на степени простых.

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 06:07 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
На сколько понимаю, для каждой пары $n,m$ такое решение (с перехлёстом) если есть, то единственно. Оно действительно приготавливается из некоторого уже существующего решения (даже с $m=1$), однако остаётся вопрос об остальных решениях. Самый интересный.

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 06:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7942
Diкий Запад
Andrey A в сообщении #1368775 писал(а):
А почему другого $K$ не может быть при других $x,y$?

Потому, что я ухнул в святцы, не глянув на колокола. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 06:27 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
Бывает ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 10:58 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1368782 писал(а):
На сколько понимаю, для каждой пары $n,m$ такое решение (с перехлёстом) если есть, то единственно.

Контрпример:
Dmitriy40 в сообщении #1368777 писал(а):
$3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11=5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12$
$5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\cdot13=8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14\cdot15$
Но больше двух решений для фиксированной пары $n,m$ пока не видно. Может это потолок? Хорошо бы получить какие-то логические выводы для маленькой пары.

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 14:44 
Заслуженный участник


20/08/14
5674
Россия, Москва
Более того, не видно вообще больше двойных решений (за исключением $n=36$), как и решений без перехлёста.

Ещё несколько найденных решений:
Код:
n=16,m=15: 4..19=6..20 - приводил выше
n=22,m=20: 2..23=5..24 - приводил выше
n=25,m=24: 5..29=7..30
n=36,m=35: 6..41=8..42
n=36,m=35: 19..54=23..57
n=49,m=48: 7..55=9..56
n=55,m=52: 8..62=15..66
n=57,m=55: 3..59=6..60
n=64,m=63: 8..71=10..72
n=81,m=80: 9..89=11..90
n=100,m=99: 10..109=12..110
Кроме квадратов и перехлёстов с плюс одной цифрой справа интересно второе решение с $n=36$ и решение с $n=55$.
Других решений не найдено, проверены $x<100$ (по моему это уже с большим запасом, выборочные $n$ проверялись и до $x<10^7$).

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 15:18 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
Всё-таки тут лучше внести ясность. Каждое решение из непересекающихся промежутков натурального ряда можно домножить на произведение "пропущенных" членов и получить решение "с перехлестом". Обратное действие также всегда выполнимо, поэтому соответствие однозначное, и нет смысла выписывать лишние знаки. К примеру из $5 \cdot 6 \cdot 7=14 \cdot 15$ следует $5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot (8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13)=(8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13) \cdot 14 \cdot 15$, и обратно.
Dmitriy40 Если возможно дать запрет на перехлест, это сильно сузит круг поиска. Можно еще так: задаем некоторый промежуток нат. ряда, вычисляем произведение входящих в него членов $N$ (деление факториалов) и ставим вопрос - какой из него нужно вычеркнуть внутренний промежуток, чтобы оставшиеся крайние промежутки образовали решение. Их произведение - квадрат, входящий в каноническое разложение $N$, поэтому вариантов не так уж и много. А вот насчет других решений вопрос, кажется, нетривиальный.

 Профиль  
                  
 
 Re: X!Y!=Z!T!
Сообщение15.01.2019, 17:04 
Заслуженный участник


20/08/14
5674
Россия, Москва
Мне кажется ситуация не совсем симметричная: добавить перехлёст можно при условии $x+n<y$, а убрать при условии $x+n<y+m-1$ (т.е. чтобы не осталось лишь одной цифры в $y$ раз уж $m>1$ по условию). Например из той квадратичной формы с $n=z^2$ перехлёст убрать нельзя. Особенно показательны $n=9;36$: из меньшего решения перехлёт неубираем, а из второго очень даже убираем, хотя в обоих случаях для обоих решений $n,m$ одни и те же.
Получается без перехлёстов известны лишь 4 решения:
Код:
n=3,m=2: 5..7=14..15
n=4,m=3: 19..22=55..57
n=5,m=3: 2..6=8..10
n=7,m=4: 8..14=63..66

И Вы правы, для любых $x>0,\; 1<k<(m=(x+k)!/x!-1)$ можно построить решение в виде $(x+1)\ldots(x+k)=(y+m)$, промежуток $(x+k)\ldots(y+m)$ в котором потом заполнить перехлёстом.

Более интересные решения сводятся к диофантовым уравнениям от двух переменных, например вида $(x+1)(x+2)(x+3)\ldots=\ldots(y+m-1)(y+m)$ сводятся к уравнению $a^3-a=b^2+b$, которое вроде бы имеет лишь одно решение $a=6, b=14$ что соответствует имеющемуся решению $5\cdot6\cdot7=14\cdot15$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group