уравнение в l^\infty

[zoo]

через $l^\infty$ обозначим банахово пространство числовых последовательностей
$x=(x_1,x_2,\ldots)=\{x_i\}_{i\in \mathbb{N}}$
с нормой $\|x\|=\sup_{i\in \mathbb{N}}|x_i|$
Пусть $f=(f_1,f_2,\ldots):l^\infty\to l^\infty$ отображение такое, что,
если $\|x\|\le 1$ то
1) $\|f(x)\|\le 1$ и 2) $f_i(x)\le x_i\quad i\in \mathbb{N}$
Доказать, что найдется точка $y$ такая, что $ f(y)=y$
Если это покажется слишком простым, то считайте, что индекс $i$ принадлежит произвольному множеству

[neo66]

Вы имели в виду условие 2) выглядит так: $f_i(x_i)\le x_i\quad i\in \mathbb{N}$?
Если мое предположение верно, то условие 1) следует из 2). Да и вообще $\|f(x)\|\le \|x\|$.

[zoo]

neo66 писал(а):

Вы имели в виду условие 2) выглядит так: $f_i(x_i)\le x_i\quad i\in \mathbb{N}$?

я имел в вмду то, что написал

[neo66]

Тогда объясните, что оно значит. Я не понимаю. Что такое $x$ в условии 2)?

[zoo]

neo66 писал(а):

Тогда объясните, что оно значит. Я не понимаю. Что такое $x$ в условии 2)?

там уже все написано: отображение $f$ ставит в соответствие точке $x=(x_1,x_2,\ldots)=\{x_i\}_{i\in \mathbb{N}}$ точку $f(x)=(f_1,f_2,\ldots)(x)$

[Brukvalub]

zoo в сообщении #136772 писал(а):

через $l^\infty$ обозначим банахово пространство числовых последовательностей
$x=(x_1,x_2,\ldots)=\{x_i\}_{i\in \mathbb{N}}$
с нормой $\|x\|=\sup_{i\in \mathbb{N}}|x_i|$
Пусть $f=(f_1,f_2,\ldots):l^\infty\to l^\infty$ отображение такое, что,
если $\|x\|\le 1$ то
1) $\|f(x)\|\le 1$ и 2) $f_i(x)\le x_i\quad i\in \mathbb{N}$
Доказать, что найдется точка $y$ такая, что $ f(y)=y$

Опасаясь дальнейшего обсуждения особенностей своей деятельности на форуме, тем не менее рискну заметить, что в исходной формулировке задача годится лишь "фтопку", поскольку тривиально доказывается, что стационарная последовательность

\[ ( - 1\,;\, - 1\,;\, - 1\,;\, - 1\,....)\]

является неподвижной точкой:shock:

[ewert]

а в чём была идея?

[zoo]

Brukvalub писал(а):

zoo в сообщении #136772 писал(а):

через $l^\infty$ обозначим банахово пространство числовых последовательностей
$x=(x_1,x_2,\ldots)=\{x_i\}_{i\in \mathbb{N}}$
с нормой $\|x\|=\sup_{i\in \mathbb{N}}|x_i|$
Пусть $f=(f_1,f_2,\ldots):l^\infty\to l^\infty$ отображение такое, что,
если $\|x\|\le 1$ то
1) $\|f(x)\|\le 1$ и 2) $f_i(x)\le x_i\quad i\in \mathbb{N}$
Доказать, что найдется точка $y$ такая, что $ f(y)=y$

Опасаясь дальнейшего обсуждения особенностей своей деятельности на форуме, тем не менее рискну заметить, что в исходной формулировке задача годится лишь "фтопку", поскольку тривиально доказывается, что стационарная последовательность

\[ ( - 1\,;\, - 1\,;\, - 1\,;\, - 1\,....)\]

является неподвижной точкой:shock:

да это так
вопрос к форумчанам: можно ли в духе этой задачи придумать что-нибудь на лемму Цорна?