Электронный газ и термодинамика

[StaticZero]

Разбирал одну задачу про электронный газ.

Цитата:

Вычислите адиабатический модуль всестороннего сжатия

$$ B = - V \left( \frac{\partial p}{\partial V} \right)_S $$

при низких $T$ для электронов в металле.

Моё решение было таким: фиксируем число частиц, тогда $\mathrm dE = -p \ \mathrm dV$ и

$$ -V\frac{\partial p}{\partial V} = V \frac{\partial^2 E}{\partial V^2} \quad | \mathrm dS = 0 $$

Возьмём первое приближение по температуре для того, чтоб у нас была энтропия (ЛЛ-5, 58.5)

$$ S = b T N n^{-2/3}, \quad T = \frac{S}{b N} n^{2/3} $$

которую мы будем фиксировать. Для энергии в первом приближении имеем (58.7) с подставленным туда (57.6):

$$ E = \frac{TS}{2} + \frac{3}{5} NE_F, \quad E_F = \frac{\hbar^2}{2m} (3 \pi^2 n)^{2/3} $$

Выражаем через собственные переменные $E = E(V, S, N)$, изгоняя температуру. Получаем

$$ E = \frac{S^2}{2 b N} n^{2/3} + \frac{3N}{5} \frac{\hbar^2}{2m} (3 \pi^2 n)^{2/3} $$

Получим

$$ V \frac{\partial^2 E}{\partial V^2} = \frac{2}{3} n E_F + O(T^2). $$

Говорят, что решение неверно, потому что ансамбль неверно выбран. Меня смущает это решение, ибо главный член, который мы и дифференцируем, от условия $\mathrm dS = 0$ вообще не зависит, все равно, что и нет его. С другой стороны, объём металла и количество электронов не флуктуируют и NVT-ансамбль (то бишь, канонический) должен нас удовлетворить.

Что скажете?

[StaticZero]

Или моя ошибка в том, что число электронов-таки надо считать флуктуирующим? Но большая ли тут разница...

[oniksofers]

StaticZero в сообщении #1368057 писал(а):

Разбирал одну задачу про электронный газ

Тут канонически используется большой канонический ансамбль. Потому что состояние системы удобно рассматривать, как набор уровней энергии $E_{a}$. И на каждом уровне $E_{a}$ у нас сидит $N_{a}$ частиц. Так как у нас ферми-газ, то $N_{a}=0,1$. Собственно исходя из этого, можно вывести выражение для большого канонического потенциала $\Omega$. Зная его, в нужно пределе $T\to 0$, можно найти уравнение состояния такого газа и энтропию. А из них и необходимую величину. Возможно тут есть, более хитрый обходной путь, может быть, кто-нибудь из старших товарищей придет и поведует о нём.

StaticZero в сообщении #1368057 писал(а):

Что скажете?

У меня есть ощущение, что вы не понимаете как описывается квантовый газ. Скажите, про числа заполнения, вторичное квантования и прочее слышали?

[amon]

StaticZero в сообщении #1368057 писал(а):

Что скажете?

Что очень лениво разбираться. Я бы танцевал от того, что если энергия частицы имеет вид $\varepsilon=Ap^k,$ то $\Omega=PV=\frac{k}{3}U,$ и попытался бы отсюда получить уравнение состояния (может, со знаком соврал - посмотрите). Здесь (для простоты) $p$ - импульс, а $P$ - давление, в нашем случае $k=2,$ а $U$ - внутренняя энергия (Ваше $E$). Остальное вроде понятно.

oniksofers в сообщении #1368189 писал(а):

Скажите, про числа заполнения, вторичное квантования и прочее слышали?

А к чему эти навороты в Саратовском зоопарке?

[oniksofers]

amon в сообщении #1368280 писал(а):

А к чему эти навороты в Саратовском зоопарке?

Ну как же. Сосчитать стат.сумму, найти $\Omega$, получить в нужном предел уравнение состояния и найти необходимое. Впрочем, возможно, что это из пушки по воробьям.

[StaticZero]

oniksofers в сообщении #1368189 писал(а):

Скажите, про числа заполнения, вторичное квантования и прочее слышали?

Слышал.

oniksofers в сообщении #1368189 писал(а):

У меня есть ощущение, что вы не понимаете как описывается квантовый газ

У меня есть ощущение, что я не понимаю, чем отличаются ансамбли статистические друг от друга.

Для большого потенциала есть формулы $S = -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial T} \right)_{V, \mu}$, $N = -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu} \right)_{V, T}$ и $p = - \left(\frac{\partial \Omega}{\partial V} \right)_{\mu, T}$. В этом случае фиксация энтропии даёт $V T \sqrt \mu = \operatorname{const}$. Тогда можно написать

$$ \mathrm dS(\mathrm d\mu, \mathrm dV, \mathrm dT) = \frac{\mathrm d V}{V} + \frac{\mathrm d T}{T} + \frac{\mathrm d \mu}{2 \mu} = 0. $$

Мы ещё фиксируем количество электронов, тогда $\mathrm dN(\mathrm d\mu, \mathrm dV, \mathrm dT) = 0$. Потом можно записать $\mathrm dp = p_\mu \ \mathrm d\mu + p_T \ \mathrm dT + p_V \ \mathrm dV$ и подставить $\mathrm d\mu$, $\mathrm dT$ из условий постоянства и тогда получим то, что надо, простым делением $\mathrm dp$ на $\mathrm dV$?

[oniksofers]

StaticZero в сообщении #1368292 писал(а):

В этом случае фиксация энтропии даёт $V T \sqrt \mu = \operatorname{const}$.

Откуда это?

[StaticZero]

oniksofers в сообщении #1368297 писал(а):

StaticZero в сообщении #1368292 писал(а):

В этом случае фиксация энтропии даёт $V T \sqrt \mu = \operatorname{const}$.

Откуда это?

(58.2)

[amon]

StaticZero в сообщении #1368300 писал(а):

(58.2)

IMHO, ЛЛ-5 тут только вредит. Смотрите, как "мой" способ работает для Максвелловского газа

\begin{align*} \Omega&=PV\\ U&=\frac{3}{2}NkT\\ \Omega&=\frac{2}{3}U\\ \Rightarrow&PV=NkT \end{align*}

(Где-то я со знаками вру, где - не пойму, но вру четное число раз - ответ верный). Из уравнения состояния Вы все сразу получите.

[oniksofers]

StaticZero в сообщении #1368300 писал(а):

(58.2)

Открыл ЛЛ вижу в 58.2(издание 5, стереотипное)
$\Omega = \Omega_{0}-VT^{2}\frac{\sqrt{2\mu}m^{\frac{3}{2}}}{6\hbar^{3}}$
И вообще я тогда не понимаю, что считается известным. Если известен $\Omega$ для идеального ферми-газа(в пределе $T \to 0$), то уравнение состояния получается в одно дифференцирование, также как и выражение для энтропии.
p.s конечно я немного погорячился, не в одно, но всё же.

[StaticZero]

oniksofers в сообщении #1368306 писал(а):

Открыл ЛЛ вижу в 58.2(издание 5, стереотипное)
$\Omega = \Omega_{0}-VT^{2}\frac{\sqrt{2m}m^{\frac{3}{2}}}{6\hbar^{3}}$

$$ \Omega = \Omega_0 - VT^2 \frac{\sqrt{2 \mu} m^{3/2}}{6 \hbar^3}, \quad S = -\left( \frac{\partial \Omega}{\partial T} \right)_{V, \mu} $$

первый член не зависит от $T$

-- 13.01.2019 в 17:02 --

amon в сообщении #1368302 писал(а):

Где-то я со знаками вру, где - не пойму

$\Omega = -p V$

[amon]

StaticZero в сообщении #1368310 писал(а):

$\Omega = -p V$

Тогда, методом исключения полного бреда, $\Omega =-\frac{2}{3}U$

[StaticZero]

Уравнение состояния получим из того, что $F = \frac{3}{5} N E_F - \frac{b T^2}{2} N^{1/3} V^{2/3}$

$$ p = -\left( \dfrac{\partial F}{\partial V} \right)_{T} = - \left(-\frac{2}{5} nE_F - \frac{b T^2}{3} n\right) = \frac{2}{5} n E_F + \frac{b T^2 n}{3} $$

$$S = b T V^{2/3} N^{-1/3}, \quad 0 = \frac{\mathrm dT}{T} + \frac{2}{3} \frac{\mathrm dV}{V}, \quad \mathrm dT = -\frac{2}{3} \frac{T \ \mathrm dV}{V}$$

$$ \mathrm dp = -\frac{2}{3} n \frac{\mathrm dV}{V} \left(E_F + \frac{b T^2}{2}\right) + \frac{2}{3} b T n \ \mathrm dT = -\frac{2}{3} n \frac{\mathrm dV}{V} \left(E_F + \frac{7 b T^2}{6}\right) $$

Получаем снова $B = \frac{2}{3} n E_F + O(T^2)$.

[Munin]

Господа, а сам металл сжимается, или только электронный газ?

[oniksofers]

StaticZero в сообщении #1368292 писал(а):

В этом случае фиксация энтропии

А зачем вам ее фиксировать. У вас ведь нет никакого адиабатного процесса. Вам нужно найти уравнение состояния в нужных вам переменных, чтобы сосчитать интересующую вас величину. И да когда вы пишете, что дифференциал чего-то зависит от других дифференциалов, это просто некорректно:

StaticZero в сообщении #1368292 писал(а):

$$ \mathrm dS(\mathrm d\mu, \mathrm dV, \mathrm dT) = \frac{\mathrm d V}{V} + \frac{\mathrm d T}{T} + \frac{\mathrm d \mu}{2 \mu} = 0. $$

Это полная чушь. Так как если у вас есть функция $f(x,y,z)$, $df(x,y,z)=(\partial_{x}f) dx + (\partial_{y}f) dy + (\partial_{z})f dz$, то $df(x,y,z)$ зависит от $x,y,z$ а не от каких то других дифференциалов.

Munin в сообщении #1368326 писал(а):

Господа, а сам металл сжимается, или только электронный газ?

Рискну предположить, что нет. Это задача на низкотемпературное поведение идеального ферми газ. По крайней мере мне она встречалась(во время учебы) именно в таком виде.