Производная в точке скачка

[defunator21]

Привет, у меня глупый вопрос: вот у нас есть функция $f\left(x\right) = \begin{equation*} \begin{cases} e ^ x, x > 0 \\ -e ^ {-x}, x \leq 0\end{cases} \end{equation*}$. В нуле у нее скачок, то есть она не непрерывна в нем, однако легко убедиться, что левосторонняя и правосторонняя производные равны в нуле, то есть она дифференцируема в этой точке. А раз она дифференцируема в нуле, то и непрерывна в нем. Получается что-то странное. Объясните, пожалуйста, что здесь не так?

[thething]

defunator21 в сообщении #1367972 писал(а):

однако легко убедиться, что левосторонняя и правосторонняя производные равны в нуле

И чему они там равны?

[mihaild]

Покажите, как вы считаете односторонние производные.

[defunator21]

mihaild в сообщении #1367975 писал(а):

Покажите, как вы считаете односторонние производные.

thething в сообщении #1367974 писал(а):

defunator21 в сообщении #1367972 писал(а):

однако легко убедиться, что левосторонняя и правосторонняя производные равны в нуле

И чему они там равны?

Ну ок,
$f'\left(0+\right) = \lim_{x \to 0+}\frac{f\left(x\right) - f\left(0+\right)}{x - 0} = \lim_{x \to 0+} \frac{e ^ x - 1}{x} = 1$
последнее просто по эквивалентности. Ну и почти также слева
$f'\left(0-\right) = \lim_{x \to 0-}\frac{f\left(x\right) - f\left(0-\right)}{x - 0} = \lim_{x \to 0-} \frac{-e ^ {-x} + 1}{x} = 1$. Кажется, нигде не напутал

[thething]

Напутали в определении односторонней производной.

[defunator21]

thething в сообщении #1367979 писал(а):

Напутали в определении односторонней производной.

Так, а где именно?

[mihaild]

В том, что должно стоять под знаком предела. У вас получается что значение в самой точке не влияет на одностороннюю производную.

[Red_Herring]

Можно ввести определение односторонней производной так, как сделал ТС. Но тогда в определение дифференцируемости функции в данной точки следует включить также и явное требование непрерывности.

[Dan B-Yallay]

Если я правильно понимаю, ТС взял определение односторонней производной для точки излома, и попытался доопределить его(определение) для точки разрыва. Поэтому ему и пришлось отказаться от значения функции в самой точке, а использовать односторонние пределы $f(0+), \ f(0-)$. Но функция от этого "более непрерывной" не станет.

-- Сб янв 12, 2019 08:59:53 --

Red_Herring в сообщении #1367984 писал(а):

Но тогда в определение дифференцируемости функции в данной точки следует включить также и явное требование непрерывности.

[defunator21]

mihaild в сообщении #1367983 писал(а):

В том, что должно стоять под знаком предела. У вас получается что значение в самой точке не влияет на одностороннюю производную.

А, я понял, кажется, вот тогда так
$f'\left(0+\right) = \lim_{x \to 0+}\frac{f\left(x\right) - f\left(0\right)}{x - 0} = \lim_{x \to 0+} \frac{e ^ x + 1}{x} = \infty$
$f'\left(0-\right) = \lim_{x \to 0-}\frac{f\left(x\right) - f\left(0\right)}{x - 0} = \lim_{x \to 0-} \frac{-e ^ {-x} + 1}{x} = 1$
Ну и тогда все ок, функция не дифференцируема в нуле