Э... у Вас есть некий пробел в рассуждении. Но очень похоже.
(Решение.)
Прежде всего, пробел состоит в том, что в лемме Накаямы надо, чтобы идеал лежал в
любом максимальном, а в нашем случае это не так (берем

. Тогда главный идеал в
![${\mathbb Z}[X]$ ${\mathbb Z}[X]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/1/1e1e0bea1e82a3a67d8c8f7d70ad600082.png)
, порожденный

---
максимальный и не содержит

).
На самом деле решение очень близко к рассуждениям в лемме Накаямы.
1)
Пусть
--- кольцо с
,
--- однопорожденный модуль над
, и
--- элемент такой, что
. Тогда умножение на
действует на
биективно. Действительно,

, где

--- идеал. Значит,

. Значит, класс

элемента

--- обратим в кольце

, поэтому умножение на него действует на

биективно, значит и

действует на

, т.е. на

, биективно.
2)
Если
--- какой-то модуль,
--- элемент такой, что
, то
для любого подмодуля
. (Это ясно).
3)
Допустим,
--- произвольный модуль,
--- подмодуль, и
--- такое, что
и умножение на
действует на
биективно. Тогда
. Действительно, пусть

. Существует

, для которого

. Если

--- образ

в

, то

, в силу того, что

. Но

действует на

биективно, значит

, откуда

.
4)
Если умножение на
действует инъективно на
и на
, то и на
тоже инъективно. Действительно, допустим, что

. Тогда

. Поскольку

инъективно на

, то

, откуда

. Но тогда

, поскольку

инъективно на

.
5)
Утверждение из 1) справедливо для всех конечнопорожденных модулей. Доказательство --- индукция по числу порождающих. Для однопорожденных это утверждение 1). Иначе есть подмодуль

такой, что

порожден меньшим числом элементов, а

однопорожден. По 2),

удовлетворяет условию, значит

биективно на

. Теперь по 3) видим, что и

удовлетворяет условию. Значит

биективно на

. Наконец, из 4) следует, что

действует инъективно.
6) Теперь докажем утверждение задачи. Рассмотрим кольцо
![$A[X]$ $A[X]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/0/b106b543b5b5c4635b5f1cb75ce8315182.png)
. Тогда

можно рассматривать как
![$A[X]$ $A[X]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/0/b106b543b5b5c4635b5f1cb75ce8315182.png)
-модуль, если считать, что

действует как

. Умножение на

действует сюръективно, а потому по 5) и биективно. Но это как
раз то, что нам нужно.