Исследовать интеграл зависящий от параметра на непрерывность

[Voice1081]

$$\int\limits_{0}^{1}\ln^\alpha(1+x^2)$$

при $\alpha>-\frac{1}{2}$
При $\alpha\geq 0$, если я правильно рассуждаю, все просто: для произвольного $\alpha$ берем $\left[c, d] \subseteq \left[0, +\infty)$ содержащий эту точку. Тогда, раз подынтегральная функция непрерывна в $\left[0, 1] \times \left[c, d]$, интеграл будет непрерывен на $\left[c, d]$, и, в силу произвольности $\alpha$, во всех точках $\left[0, +\infty)$. А вот с $-\frac{1}{2} < \alpha < 0$ разобраться не могу - как я понял, в этом случае для непрерывности нужно доказывать равномерную сходимость интеграла, но как применить для этого известные мне признаки не понимаю. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, из отсутствия равномерной сходимости интеграла следовало бы отсутствие его непрерывности, но доказать это по определению или по критерию Коши также не получилось. Буду благодарен любой помощи.

[thething]

А Вам известен такой факт: если при каком-то $\alpha=\alpha_0$ несобственный интеграл расходится, то он не может сходиться равномерно ни на каком множестве с предельной точкой $\alpha_0$? (Если нет -- доказать недолго, как раз из отрицания критерия Коши и непрерывности собственного интеграла). Попробуйте доказать расходимость при каком-то $\alpha_0$. Правда, если Вы хотите сослаться на теорему Дини, то надо помнить, что в ее условии параметр меняется на компактном множестве, т.е., грубо говоря, при $\alpha\in[\alpha_0,0], -\frac{1}{2}<\alpha_0$ и вот тут-то как раз равномерная сходимость уже будет.

[Voice1081]

thething
То есть доказав отсутствие сходимости при $\alpha = -\frac{1}{2}$ можно сделать вывод об отсутствии равномерной сходимости интеграла на $(-\frac{1}{2}, 0)$, но отсутствие непрерывности на этом же интервале из этого не следует?

[Otta]

Voice1081
Вам же непрерывность нужна, а не равномерная сходимость. Функция непрерывна, когда она непрерывна в каждой точке множества. Поэтому достаточно доказать непрерывность интеграла на небольшом множестве, покрывающем текущую точку.

[Voice1081]

Otta
Честно говоря, как тут обойтись одним определением непрерывности совсем не представляю, тем более что интеграл не берется.

[thething]

Учитывая первую половину Вашего стартового сообщения, странно, что Вы не понимаете, что делать. А ведь я намекал, прочтите внимательнее (а Otta вообще открытым текстом сказала).

Но раз непонятно, то давайте по порядку: какие достаточные условия непрерывности несобственного интеграла Вы знаете?

[Voice1081]

thething
Если функция $f(x, y)$ определена и непрерывна на $(a, b] \times [c, d]$ и интеграл сходится равномерно на $[c, d]$, то он представляет собой непрерывную функцию. Доказать равномерную сходимость этого интеграла на $[c, d] \subseteq (-\frac{1}{2}, 0)$ по известным мне признакам (Абеля, Дирихле и Вейерштрасса) у меня не получается. То есть идея в том чтобы для $\alpha_0 \in (-\frac{1}{2}, 0)$ доказать равномерную сходимость интеграла на $[c, d]$, содержащем $\alpha_0$ или есть другие признаки непрерывности несобственного интеграла от параметра?

[thething]

Voice1081 в сообщении #1367433 писал(а):

То есть идея в том чтобы для $\alpha_0 \in (-\frac{1}{2}, 0)$ доказать равномерную сходимость интеграла на $[c, d]$, содержащем $\alpha_0$

Да. Только лучше доказывать равномерную сходимость сразу на отрезке $[\alpha_0,0]$, полагая $\alpha_0>-\frac{1}{2}$. Известный Вам признак (тот, самый популярный), с этим справляется.