Вычислимые и невычислимые числа

[Skipper]

mihaild в сообщении #1367234 писал(а):

Любое КДЧ задается какой-то МТ.

Спасибо, пытаюсь анализировать пока этот первый пункт внимательно.
Хорошо, тогда "множество всех КДЧ ", задаются в "подмножестве всех возможных машин Тьюринга".
Если мы придумаем способ, как "машину Тьюринга" - описать неким "набором бит" (как к примеру, любой файл на компьютере ),
это значит, что каждая машина Тьюринга будет связана с неким двоичным числом.

Главное чтобы этот способ , ("трансляция описания машины Тьюринга в поток бит") - не мог выдать одно двоичное число,
для описания разных машин Тьюринга.
Т.е. "разные машины Тьюринга" --> разные "двоичные числа", как наборы байт, описывающие эти машины.

Вот пункт выше, если реализуем, тогда окажется что "множество всех КДЧ ", находится в подмножестве двоичных целых чисел,
а значит и мощность его = мощности счётного множества.
Хотя и будут существовать машины Тьюринга как и двоичные числа, их описывающие, которые не задают никаких КДЧ .
Но мы же здесь сравниваем именно мощности.

[Someone]

Skipper в сообщении #1367224 писал(а):

Зато мы знаем правила и у нас алгоритм, как получить данные о этом числе - со сколь угодно большой точностью. , т.е. "получить любое сколь угодно лучшее приближение".
Почему я не могу назвать его "вычислимым" ?

Да называйте, только сообщайте, каким определением пользуетесь. Вон в книге, которую я рекомендовал, есть целый букет подобных определений: КДЧ (они же $FR$-числа), $F$-числа, квазичисла, псевдочисла. Вы не очень чётко выражаетесь, но ваше определение, видимо, соответствует псевдочислам: Вы требуете, чтобы последовательность сходилась (была фундаментальной), но оценки погрешности не предполагается. Для КДЧ требования более жёсткие: можно задать погрешность и вычислить рациональное число, отличающееся от предела не больше, чем на заданную величину.

Разница следующая: Вы вычисляете, например, сотый член последовательности, и получаете $\frac{375005438}{43222071}$. На сколько это отличается от предела, совершенно неизвестно. В случае КДЧ мы, например, хотим вычислить число с погрешностью, не превосходящей $2^{-20}$. Мы запускаем регулятор фундаментальности с числом $20$ и он нам сообщает, что, начиная с сотого члена, разность между любыми двумя членами меньше $2^{-20}$. Поэтому мы вычисляем сотый член, получаем $\frac{375005438}{43222071}$, но теперь мы знаем, что это число отличается от предела не более чем на $2^{-20}$.

Skipper в сообщении #1367224 писал(а):

А вот пример "невычислимого" числа - в какой бы системе счисления мы его не рассматривали, найдется знак после запятой, который мы не сможем
вычислить алгоритмом за конечное время.
А значит и аппроксимировать со сколь угодно большой точностью - не получится.

Вы совершенно напрасно думаете, что применение алгоритмов — единственный способ вычисления. Не говоря уже о том, что мы можем использовать один алгоритм для вычисления какого-то количества первых цифр, потом сочинить другой алгоритм и вычислить несколько следующих цифр, потом разработать третий алгоритм… Число, с одной стороны, невычислимое, а с другой, мы его можем вычислять, но вынуждены всё время заниматься неалгоритмизируемой творческой деятельностью.

Skipper в сообщении #1367245 писал(а):

Если мы придумаем способ, как "машину Тьюринга" - описать неким "набором бит" (как к примеру, любой файл на компьютере ),
это значит, что каждая машина Тьюринга будет связана с неким двоичным числом.

Ну, Вы здесь явно пытаетесь изобрести велосипед. Вы бы поинтересовались, что такое "универсальная машина Тьюринга". Но я не догадываюсь, что Вы с этими двоичными кодами собираетесь делать. Всё счётность/несчётность мучает? Так для машин Тьюринга также существует понятие записи (на ленте), с которой машины Тьюринга могут работать.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1367245 писал(а):

Но мы же здесь сравниваем именно мощности.

mihaild в сообщении #1367234 писал(а):

Еще раз: счетное множество - это такое, для которого существует биекция между ним и $\mathbb{N}$. Вопрос - "где она существует"?

Для сравнения мощности нам надо сказать, какие биекции мы рассматриваем. И для одного набора допустимых биекций множество может оказаться счетным, а для другого - нет (см. также парадокс Скулема).

[Skipper]

mihaild в сообщении #1367266 писал(а):

Еще раз: счетное множество - это такое, для которого существует биекция между ним и $\mathbb{N}$. Вопрос - "где она существует"?

Я же писал на примере машин Тьюринга.

Вот пример на обычной компьютерной модели.
Я - программист. Программирую на языке программирования, который "полный по Тьюрингу".
Это значит, что на этом языке можно написать программу, которая, реализует любую вычислимую фукнцию,
так же как это делала бы Универсальная машина Тьюринга.

Примем моё определение "вычислимого числа" -

Skipper в сообщении #1367224 писал(а):

1) если существует алгоритм, позволяющий вычислить последовательность неких других чисел, сколь угодно "близких" (т.е. разность будет стремиться к нулю) - к исследуемому числу - в таком случае исследуемое число называем "вычислимым".

Формальным языком, это можно сказать так -
Обозначим исследуемое число буквой $A$ , пусть посредством алгоритма мы можем получить "числа-приближения" к нему : $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ ... $B_n$ ,
со сколь угодно большой точностью.
Т.е. для любого сколь угодно малого $\varepsilon > 0$ , существует $m$ , такое что для всех $n > m$ , расстояние между числами, т.е. $|A - B_n |$ $< \varepsilon $ .

Я хочу доказать что это множество, вычислимых чисел, которое дано выше - не более чем счётно.

Доказательство.

Посколько мой язык программирования, полный по Тьюрингу, значит для любого вычислимого числа
данного выше, я могу написать программу, которая построит данную последовательность,
приближающую искомое (вычислимое) число - со сколь угодно большой точностью.
(либо выдаёт точно искомое число, если это возможно. (если число вообще рациональное))

Существуют также, программы, которые не могут за конечное время построить $n$ - й член последовательности.
(это ааналоги машин Тьюринга, которые никогда не останавливаются на искомом шаге).
Но такие программы нас не интересуют.

Значит, для любого вещественного вычислимого числа, какое бы вы ни придумали, если вы расскажете мне,
как его вычислять - я вам напишу программу, на своём языке программирования.
Но программа компилируется в байт-код, и я могу вам выдать точное двоичное число (натуральное N) -
это набор бит, который и представляет данную программу.

При этом соблюдается правило, о котором я писал выше - разные алгоритмы не могут быть реализованы
как код, с одним двоичным числом.

Из этого следует не биекция, а вот что -
любое ваше вещественное вычислимое число ->
имеет соответствие с одним элементом из N - множества натуральных чисел.

Что здесь непонятно? Вы сказали - посчитать какое то вычислимое число. Я говорю "Окей",
пишу программу, которая считает его, или последовательность, бесконечно приближающуюся к этому числу.
Код программы в битах - это двоичное натуральное число $N$,
я отправляю вам и говорю "вот ваше вещественное вычислимое число" - имеет соответствие
с этим натуральным числом $N$.

Нет биекции? А обратное и не нужно - если какое то натуральное число из $ N$ не соответствует
никакому вычислимому числу (программа выдаст бред, не будет работать и т.п.) -
то этот факт никак не увеличивает мощность множества ваших вычислимых чисел.

Все ваши вычислимые чисела - кодируются как натуральные $N$, в представленном выше примере,
а значит это множество - можно рассматривать как подмножество множества $ N$ .
Мощность подмножества не может быть больше мощности множества, тем самым
я со всей строгостью , доказал, что мощность вычислимых чисел, которые вы мне можете
предложить - счетно.

Если где то неясные формулировки, укажите, попробую разобраться и уточнить.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1367298 писал(а):

А обратное и не нужно - если какое то натуральное число из $ N$ не соответствует никакому вычислимому числу (программа выдаст бред, не будет работать и т.п.) - то этот факт никак не увеличивает мощность множества ваших вычислимых чисел.

Вот это тонкое место. Есть биекция между множеством натуральных чисел и множеством вычислимых чисел. Но нет вычислимой биекции (и даже нет вычислимой сюръекции из $\mathbb{N}$ в множество вычислимых чисел).
И тогда вопрос - почему вас не устраивают невычислимые вещественные числа, но устраивают невычислимые биекции?

[Skipper]

mihaild в сообщении #1367302 писал(а):

Но нет вычислимой биекции

Этот момент непонятен.
1) что означает "вычислимая" биекция" ?
2) зачем нужно её рассматривать применительно к вопросу о том, счётно или несчётно множество вышеопределенных вычислимых вещественных чисел?

Ну, допустим, какой то элемент присутствует в множестве натуральных чисел, но отсутствует его аналог по сюрьекции, в множестве вычислимых вещественных. Что из этого следует?

Мощность множества вычислимых вещественных, ведь всё равно остаётся счётной (?), а если в конструктивном анализе,
считается что оно несчётное, значит там видимо, какие то хитрые определения этих конструктивных чисел, причём настолько хитрые, что я вот так, сам не могу даже сообразить, что такое можно придумать, (чтобы мощность этого множества стала несчётной).
Кажется всё что может формализовать человеческий мозг - в принципе можно будет "перечислить".

[mihaild]

Skipper в сообщении #1367310 писал(а):

1) что означает "вычислимая" биекция" ?

Если у нас есть два подмножества $A$ и $B$ натуральных чисел (например "все натуральные числа" и "натуральные числа, кодирующую программу, задающую вычислимое вещественное число"), то биекция между $f: A \leftrightarrow B$ между ними называется вычислимой, если существует МТ, которая по числу $n \in A$ выдает $f(n)$.

Skipper в сообщении #1367310 писал(а):

зачем нужно её рассматривать применительно к вопросу о том, счётно или несчётно множество вышеопределенных вычислимых вещественных чисел?

А зачем нужно рассматривать множество вычислимых действительных чисел?

Skipper в сообщении #1367310 писал(а):

какой то элемент присутствует в множестве натуральных чисел, но отсутствует его аналог по сюрьекции, в множестве вычислимых вещественных

Что это вообще значит?
(вообще, попробуйте использовать более строгие формулировки - ваше определение понятно, но скажем точный смысл формулировки "программы, которые не могут за конечное время построить $n$ - й член последовательности" - непонятен)

Skipper в сообщении #1367310 писал(а):

там видимо, какие то хитрые определения этих конструктивных чисел

Нет, там хитрое определение счетности. А именно - требуется чтобы их можно было не просто пронумеровать, но сделать это вычислимым образом.
Например множество не останавливающихся МТ - конструктивно несчетно. Хотя множество всех МТ и множество останавливающихся - счетны.

[Skipper]

mihaild в сообщении #1367317 писал(а):

"программы, которые не могут за конечное время построить $n$ - й член последовательности" - непонятен

Уточню. ПУсть, моя программа, написанная на моём, полным по Тьюрингу, языке программирования -
находит вычислимые вещественные числа, определённые выше , сколь угодно близко
приближающейся последовательностью (не хочу лишний раз писать определение).

Как она может их находить?

1) если это число рациональное, и может быть точно определено, программа записывает в память
что то типа
"хх.хххх ]] 0000... " ,
где x - знаки числа до и после запятой,
и ]] в конце - это особый двойной символ, означающий что программа остановилась. (т.е. больше работать не будет).
Изначально память заполнена нулями, так что если наткнулись на первый нуль, то дальше
в памяти смотреть нечего - там тоже нули, и программа туда не обращалась .
(это я так "для удобства" определил нулями неиспользуемые символы, используемый "ноль" как цифра-знак
в вычисленной последовательности хх.хххх - можно кодировать по другому в памяти, не
то что будет после завершающего символа ]] ) .
Программа работает, и записывает данные в память, а мы, можем параллельно "заглянуть" в эту память,
и посмотреть, что она там насчитала.

2) если это число не может быть точно определено , а может быть аппроксимировано только какой то
последовательностью, приближающейся к нашему вычислимому вещественному числу со сколь угодно большой точностью ,
(см. выше моё определение вычислимых чисел) ,
тогда программа будет писать следующее :
"хх.хххх ] хх.хххххх ] хх.ххххххххх ] 0000... " ,
символ ] - определяет, что программа выдала нам очередное приближение из последовательности,
которое мы можем использовать, или ждать более точных, следующих членов последовательности.
Вообще говоря, работа этой программы не остановится, пока мы её сами не остановим.
А остановим мы её, когда увидим очередное вычисленное число со знаками
хх.ххххххххх ] 0000...
и точность нас будет уже устраивать (мы знаем что это N-й член последовательности
с премлемым для нас приближением - и точнее уже не надо),
а дальше мы видим последний символ ] и нули, т.е. программа дальше в память не обращалась.

Каждая программа имеет свой байт-код, а значит каждая программа имеет какое то своё
двоичное определение кода, и это - число из $N$,
которое натуральное, и имеет свой прототип, в множестве вычислимых вещественных чисел.

Всё множество вычислимых вещественных чисел, получается, закодировано будет в подмножестве
этих натуральных чисел из $N$.


А что означает моё прежнее утверждение -

mihaild в сообщении #1367317 писал(а):

"программы, которые не могут за конечное время построить $n$ - й член последовательности" - непонятен

Это означает, что очередное требуемое число последовательности ,
... хх.ххххххххх ] 0000...
- программа не может построить за конечное время.
(и при этом, завершающий символ ]] - тоже не выдаёт).

Т.е. программа никогда не останавливается , и при этом не выдаёт больше символов ] .
В таком случае говорим, что "программа невычислима" ,
или "пытается построить невычислимое число".

Всякие бредовые программы, т.е. не имеющие алгоритмического смысла, и вообще ничего
не записывающие в память (там всегда будут нули оставаться) - получаются из этого же
множества.

Они имеют по данной системе некий номер из множества $N$ , но смысла в них нет
никакого, как и нет смысла изучать невычислимые вещественные числа в математике.
Что мы там можем изучить, если неизвестно, как это число определить??

А зная язык программирования, из числа из $N$ , представляющего программу, мы можем
декомпилировать код, понять алгоритм, и сказать - вот этот - будет строить искомую последовательность,
не остановится на $n$-м шаге, и потому , данная программа "представляет собой "
вычислимое вещественное число.

Надеюсь, теперь понятно объяснил..

-- Ср янв 09, 2019 23:30:56 --

mihaild в сообщении #1367317 писал(а):

множество не останавливающихся МТ - конструктивно несчетно.

В моём вышеописанном случае "программ" - это множество тоже счётно , т.к. это - подмножество
занумерованных программ из $N$ - счётного множества натуральных чисел.
(счётно множество, значит счетно и его подмножество).

Т.е. само множество невычислимых чисел - может и несчётно, но множество моих программ,
представляющих 1) все вычислимые числа , 2) какие то невычислимые - получается, однозначно счётно.

Хотя, какой смысл в "невычислимых числах", если про них ничего нельзя узнать и как-то изучить..

[mihaild]

Skipper в сообщении #1367334 писал(а):

Уточню

Это не является уточнением. Вообще, расписывать, как конкретно работает МТ, не обязательно - достаточно строго сказать, что она получает на вход и что на выход.

Skipper в сообщении #1367334 писал(а):

Всякие бредовые программы, т.е. не имеющие алгоритмического смысла, и вообще ничего не записывающие в память (там всегда будут нули оставаться) - получаются из этого же множества.

Проблема в том, что не существует алгоритма, который бы по программе говорил, вычисляет она "что-то осмысленное" или нет.

Skipper в сообщении #1367334 писал(а):

счётно множество, значит счетно и его подмножество

Это верно для обычной счетности. Для конструктивной счетности это неверно.

Еще раз: почему вы требуете вычислимости от вещественных чисел, но готовы считать счетными множества, для которых не существует вычислимой биекции с натуральными числами? Почему такая дискриминация?

Skipper в сообщении #1367334 писал(а):

программ, представляющих ... , 2) какие то невычислимые - получается, однозначно счётно

Дайте определение понятию "программа представляет число" такое, что для какого-то невычислимого числа существует представляющая его программа.
(это что-то странное, потому что обычно вычислимыми числами называются ровно задаваемые какой-то МТ)

Skipper в сообщении #1367334 писал(а):

Хотя, какой смысл в "невычислимых числах", если про них ничего нельзя узнать и как-то изучить..

Давайте вы не будете игнорировать то, что вам пытаются объяснить? Ответьте на вопрос

mihaild в сообщении #1367183 писал(а):

И считаете ли вы, что "существует" вещественное число, такое, что $n$-й бит его равен $1$ тогда и только тогда, когда $n$-я формула арифметики верна в стандартной модели?

(ну и я уже писал - конструктивные числа не обладают многими полезными свойствами вещественных чисел; например, они не образуют полное поле)

-- 10.01.2019, 03:52 --

И да, если уж на то пошло, в математике не изучают конкретные невычислимые числа. В математике изучают множества чисел.
(а если уж совсем занудничать - то в математике занимаются манипулированием конечными строками - формулами; красивые слова про множества, модели, семантику и т.д. нужны только потому что без них плохо получается)

[Skipper]

Цитата:

Дайте определение понятию "программа представляет число" такое, что для какого-то невычислимого числа существует представляющая его программа.

пытаюсь анализировать пока этот пункт.

Да, надо по другому - если моя программа никогда не останавливается, и при и этом не выдаёт
требуемый результат - то это не значит "программа представляет некое невычислимое число".
Это означает : "программа вообще ничего не представляет".
И их можно вообще не рассматривать.

Их не надо связывать с некими невычислимыми числами. Все мои программы закодированы
двоичным кодом, которое натуральное число из $N$ -

1) какие то из них - просто ерунда, которая ничего не представляет,
2) часть из них - строит вычислимые числа , и это можно доказать.

Цитата:

Проблема в том, что не существует алгоритма, который бы по программе говорил, вычисляет она "что-то осмысленное" или нет.

Для части программ - можно это доказать, что программа действительно вычисляет что то осмысленное -
вычислимое число.
Декомпилируем код, и изучам алгоритм.
Там допустим, вычисление некой функции в точке, понятно разложенной в ряд Тейлора.
Тем самым мы доказываем, что программа работает верно, корректно, не остановится на
бесконечное время перед очередным требуемым шагом, и следовательно,
работает с вычислимым действительным числом.

Если же мы не можем доказать - остановится программа или нет..
Т.е. в принципе не можем. То программа в таком случае - не остановится.
А значит, представляет собой ерунду, ничего не выводит и не относится к какому то вычислимому числу.

В самом деле, если программа останавливается за конечное время, значит она при этом
манипулирует с конечным набором неких данных. Декомпилировав код, и изучив данные,
мы тоже проанализировали бы тот же конечный набор данных (а то и проще, если задача не формализована),
и доказали бы за конечное время : "программа останавливается" .

Есть ещё 3-й класс программ, которые не останавливаются, и это можно доказать.
Простой пример - в программе видим пустой бесконечный цикл. Такие тоже очевидно, не строят никакое
неконструктивное число.

Получается, есть три типа программ,

1) которые останавливается на любом требуемом шаге, и связаны с вычислимым числом . и это доказуемо.
2) которые никогда останавливается , потому и не связаны с вычислимым числом . и это доказуемо.
3) которые никогда останавливается , потому и не связаны с вычислимым числом . но это не доказуемо!

mihaild в сообщении #1367354 писал(а):

И считаете ли вы, что "существует" вещественное число, такое, что $n$-й бит его равен $1$ тогда и только тогда, когда $n$-я формула арифметики верна в стандартной модели?

Если моя программа строит вычислимое число, в котором будет закодировано формальное
доказательство ваших $n$-х формул арифметики - то все эти биты, $0$ или $1$, должны определяться программами 1 типа.

А если какая то ваша формула верна и недоказуема (или неверна и недоказуема),
то для неё и не существует программы 1 типа.

Значит, ваш $n$-й бит в таком случае никогда не будет рассчитан.
Вы хотите сказать , что это число "существует" ?
Ну предположим, но для нас это "число" не будет иметь никакого смысла.

mihaild в сообщении #1367354 писал(а):

почему вы требуете вычислимости от вещественных чисел,

Потому что кажется, что только с ними мы и имеем дело.

Вот самый простой пример.

"Бит, который равен $1$ если верна гипотеза Римана, и который $0$ если эта гипотеза неверна" .

Есть три варианта --------

1) ГР неверна, и тогда существует конечный контрпример, который в будущем будет обнаружен.

2) ГР верна, и существует доказательство, которое в будущем будет обнаружено.

3) ГР верна, но не существует доказательства в принципе. А значит человечество об этом ,
верна гипотеза или нет - в принципе никогда не узнает.

В первых двух случаях, мы получим бит $0$, или $1$.
А в третьем случае мы никогда не получим результат - бит $0$ или $1$.
Для нас это всегда будет "неопределенной информацией".
Можно подставить любой бит, и ничего от этого не изменится.
Это будет как аксиома "ГР верна", или "ГР неверна".

-- Чт янв 10, 2019 11:56:26 --

mihaild в сообщении #1367354 писал(а):

ну и я уже писал - конструктивные числа не обладают многими полезными свойствами вещественных чисел; например, они не образуют полное поле

Не разбирался пока, что такое "полное поле" , но интересно, какая от него "полезность" для математики?
Ну и какие преимущества, (пользу , может, упрощения доказательств..), играют в математике т.н. "невычислимые числа", если мы их не можем построить, и как то изучить?
Т.е. какая практическая польза ?

[Dmitriy40]

Skipper
Насчёт пользы замыкания вещественных чисел в поле. Одно из утверждений выше можно переписать так: $\left\{ \begin{array}{rcl} a&=&b+c\\ b&>&a-c\\ \end{array} \right.$ (одновременное выполнение обоих условий, все буквы - множества) и Вас это ничем не смущает и уверены что при доказательстве какой-то теоремы это (сумма или разность двух множеств) никогда не будет использовано даже неявно?

[Someone]

(Оффтоп)

Skipper явно начал вещать что-то своё, достаточно бредовое, почти полностью игнорируя то, что ему говорят собеседники. Это противоречит тому, что тема находится в разделе "Помогите решить \ разобраться". Опасаюсь, что в скором времени это приведёт к переносу темы в Пургаторий.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1367395 писал(а):

1) какие то из них - просто ерунда, которая ничего не представляет,
2) часть из них - строит вычислимые числа , и это можно доказать.

Не хватает еще одного пункта
3) программы, которые строят вычислимые числа, но доказать, что они это делают, нельзя

Skipper в сообщении #1367395 писал(а):

Там допустим, вычисление некой функции в точке, понятно разложенной в ряд Тейлора.

Откуда тут ряд Тейлора и причем он здесь вообще?

Skipper в сообщении #1367395 писал(а):

Если же мы не можем доказать - остановится программа или нет..
Т.е. в принципе не можем. То программа в таком случае - не остановится.

Это неправда. Существуют программы, останавливающиеся на любом входе, про которые нельзя доказать, что они останавливаются на любом входе.
(хотя конечно если программа останавливается на данном конкретном входе, то это можно доказать)

Skipper в сообщении #1367395 писал(а):

1) которые останавливается на любом требуемом шаге, и связаны с вычислимым числом . и это доказуемо.
2) которые никогда останавливается , потому и не связаны с вычислимым числом . и это доказуемо.
3) которые никогда останавливается , потому и не связаны с вычислимым числом . но это не доказуемо!

Забыты
4) программы, которые останавливаются, но не задают никакое вычислимое вещественное число
5) программы, которые останавливаются, задают вычислимое вещественное число, но это не доказуемо

Skipper в сообщении #1367395 писал(а):

Потому что кажется, что только с ними мы и имеем део.

Не вырывайте цитаты из контекста. Там следующим же предложением шел еще один класс объектов, с которыми мы имеем дело, но от которых вы вычислимости не требуете.

Skipper в сообщении #1367395 писал(а):

Не разбирался пока, что такое "полное поле" , но интересно, какая от него "полезность" для математики?

Ну вот разберитесь. Возьмите учебник по мат. анализу, в котором достаточно четко прописаны используемые свойства (например Рудин, "Основы математического анализа") и посмотрите, где это используется.

Skipper в сообщении #1367395 писал(а):

какие преимущества, (пользу , может, упрощения доказательств..), играют в математике т.н. "невычислимые числа"

mihaild в сообщении #1367354 писал(а):

в математике не изучают конкретные невычислимые числа. В математике изучают множества чисел

Кажется пошел троллинг.

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1367408 писал(а):

Насчёт пользы замыкания вещественных чисел в поле. Одно из утверждений выше можно переписать так: $\left\{
\begin{array}{rcl}
a&=&b+c\\
b&>&a-c\\
\end{array}
\right.$ (одновременное выполнение обоих условий, все буквы - множества)

Почему и какое утверждение выше, можно так записать?

-- Чт янв 10, 2019 13:55:05 --

mihaild в сообщении #1367421 писал(а):

в математике не изучают конкретные невычислимые числа. В математике изучают множества чисел

Хорошо, а я могу сказать так - "множество чисел содержит только те числа, которые в принципе возможно построить и изучить".
Вы не можете указать невычислимое число, как его построить, или аппроксимировать?
Значит, я могу утверждать - оно не существует.
Или точнее, "Не находится в определяемом мной, множестве".

И чем моё множество хуже вашего?

Если есть, некие
преимущества и
практическая польза

тогда лучше изучать множества, сордержащие невычислимые числа. А если нет, то может быть , проще изучать множества, содержащие только
вычислимые числа. И я думал, что счётные множества в принципе изучать прощё, чем несчётные.

(остальное пока не смотрел) .

-- Чт янв 10, 2019 13:58:09 --

Цитата:

Не хватает еще одного пункта
3) программы, которые строят вычислимые числа, но доказать, что они это делают, нельзя

Хорошо, я выше описал - если доказать это нельзя - значит число невычислимое, и в выше описанное множество не входит.
В чём тут я неправ?

Если же оказалось, что это программа построила это число за конечное время, значит, так "доказать это было можно" - сама программа это и доказала.

-- Чт янв 10, 2019 14:03:07 --

mihaild в сообщении #1367421 писал(а):

Там следующим же предложением шел еще один класс объектов, с которыми мы имеем дело, но от которых вы вычислимости не требуете.

Я уточнил выше -

Skipper в сообщении #1367395 писал(а):

Это означает : "программа вообще ничего не представляет".
И их можно вообще не рассматривать.

Значит, никаких дел я с ними не имею, (и считаю - не входящими, в мои изучаемые множества )

-- Чт янв 10, 2019 14:07:08 --

mihaild в сообщении #1367421 писал(а):

Откуда тут ряд Тейлора и причем он здесь вообще?

Я могу к примеру, написать программу, которая будет строить последовательность, бесконечно приближающуюся к некому вычислимому числу, вычисляя
последовательно члены ряда Тейлора.
Это имел в виду.

-- Чт янв 10, 2019 14:11:29 --

mihaild в сообщении #1367421 писал(а):

4) программы, которые останавливаются, но не задают никакое вычислимое вещественное число

Ну да, если программа остановилась а в конце , в памяти нет символа "]]" (в моей описанной выше модели) - значит программа не задала никакое
вычислимое число. Т.е. её не рассматриваем.

mihaild в сообщении #1367421 писал(а):

5) программы, которые останавливаются, задают вычислимое вещественное число, но это не доказуемо

в моей описанной выше модели - программа если останавливается, а в памяти последний символ "]]" - значит она задала вычислимое число,
а если нет такого символа - не задала. Значит в моей модели, этот последний пример - доказуем.

-- Чт янв 10, 2019 14:19:30 --

mihaild в сообщении #1367421 писал(а):

Существуют программы, останавливающиеся на любом входе, про которые нельзя доказать, что они останавливаются на любом входе.

В моей вышеописанной модели нет никакого "входа" - есть просто программа как набор байт.
Она либо вычислит какое то определенное число, либо будет выдавать последовательность чисел, бесконечно приближающуюся к вычислимому числу,
либо не остановится , не выдав требуемый результат..

Я специально описал наиболее простую модель , без всяких "входов" - чтобы было понятнее .
Просто есть бинарный файл, как exe - запустили и ждём результат в памяти.
Нужно другое число вычислить - пишем другой бинарный файл.

-- Чт янв 10, 2019 14:25:54 --

Цитата:

достаточно четко прописаны используемые свойства (например Рудин, "Основы математического анализа") и посмотрите, где это используется.

Да, посмотрю, спасибо.
Интересно, какую такую пользу для математики приносят невычислимые числа, которые , мы должны включить в наши множества.

-- Чт янв 10, 2019 14:44:59 --

Кстати, я ничего не имею против , в общем, этих невычислимых чисел..
Я просто хочу понять - так ли они действительно нужны в математике, потому что иначе, есть перспектива
построить математику на счётных множествах, и это заманчиво (могу ошибаться).

[Sonic86]

Skipper в сообщении #1367187 писал(а):

Какая выгода математике, как науке в целом, если мы не будем думать, что существует только описуемое формально ? (остальное - не существует.
не плодим сущности без необходимости по принципу Оккама).

Skipper в сообщении #1367422 писал(а):

Я просто хочу понять - так ли они действительно нужны в математике, потому что иначе, есть перспектива

Skipper в сообщении #1367422 писал(а):

Интересно, какую такую пользу для математики приносят невычислимые числа, которые , мы должны включить в наши множества.

Skipper, ИМХО, Вы просто испытали типичный разрыв шаблона, какой бывает у всякого, изучающего математику
Для подобных вещей надо быть более подготовленным и подкованным. Надо рассуждать строже. Не надо приплетать сущности, отрезаемые бритвой Оккама. В математике нет сущностей и бритва Оккама не работает.
Насчет нужности Вам уже отвечали: если рассматривать все $\mathbb{R}$ (включая все невычислимые действительные числа), то получается теория сильно проще и работоспособнее, чем теория, построенная на множестве вычислимых действительных чисел. С учетом того, что

Someone в сообщении #1367216 писал(а):

Только не забывайте, что этих "конструктивизмов" — воз и маленькая тележка. И у всех "конструктивизм" разный.

и

mihaild в сообщении #1367234 писал(а):

Зато сходящаяся во втором смысле вычислимая последовательность вычислимых чисел сходится к вычислимому во втором смысле числу. Но существует сходящаяся вычислимая последовательность вычислимых в первом смысле чисел, которая не сходится ни к какому вычислимому в первом смысле числу.

Тема интересная, жалко будет, если снесут.