Опровержение континуум гипотезы.

[eugen1937]

Континуум гипотезу, надо было бы добавить к системе аксиом, если бы её не удалось ни доказать, ни опровергнуть. Поскольку континуум гипотеза в системе аксиом Цермело-Френкеля ни доказывается, ни опровергается, а она теперь опровергнута, получается, что система аксиом Цермело-Френкеля неполна.
Число $1/3$ представима с конечным числом знаков в системах счисления кратных трём. В системах с основанием не кратным трём, оно не представимо с конечным числом знаков.
Если число не представимо с конечным числом знаков в данной системе счисления, то и номер этого числа не может быть конечным.
Здесь, видимо, следует напомнить некоторые свойства бесконечных, но счётных множеств. Так, множеств целых чисел, множество нечётных чисел и множество простых легко сделать эквивалентными. Во всех трёх множествах количество элементов бесконечно. Значит все три бесконечности равны?
Как понимать такие вот утверждения:
"Если eugen1937 не объяснит немедленно, как записать $\frac 13$ конечной двоичной дробью, и не укажет, под каким номером это число находится в его списке, тема отправится в Пургаторий. То же самое будет, ежели появятся какие-нибудь глупости про бесконечные натуральные числа".
Ведь количество натуральных чисел действительно бесконечно. Кто же пишет глупости?

[mihaild]

eugen1937 в сообщении #1366820 писал(а):

Континуум гипотезу, надо было бы добавить к системе аксиом, если бы её не удалось ни доказать, ни опровергнуть

Не надо. Многие разделы математики прекрасно живут без нее.

eugen1937 в сообщении #1366820 писал(а):

а она теперь опровергнута

В какой аксиоматике?

eugen1937 в сообщении #1366820 писал(а):

получается, что система аксиом Цермело-Френкеля неполна

Заключение правильное (неполнота ZF хорошо известна), как оно получено - неясно.

eugen1937 в сообщении #1366820 писал(а):

Если число не представимо с конечным числом знаков в данной системе счисления, то и номер этого числа не может быть конечным.

Что такое "не конечный номер"? Если у нас есть нумерация (биекция с $\mathbb{N}$), то у каждого пронумерованного элемента есть (конечный) номер.
И кстати рациональные числа пронумеровать вполне можно.

eugen1937 в сообщении #1366820 писал(а):

Значит все три бесконечности равны?

Какие "три бесконечности"? Что такое множество натуральных чисел - знаю, что такое множество простых чисел - знаю, что такое "бесконечность множества натуральных чисел" (как объект) - не знаю, как и "бесконечность множества простых чисел". Соответственно и сказать ничего про эти объекты не могу. И никто не сможет, пока вы не дадите им определений.
Множества натуральных, челых, нечетных и простых чисел равномощны.

eugen1937 в сообщении #1366820 писал(а):

бесконечные натуральные числа

eugen1937 в сообщении #1366820 писал(а):

количество натуральных чисел действительно бесконечно

Внимательно посмотрите на две строчки выше. Видите отличие? Подсказка: в первой из них прилагательное "бесконечные" подразумевается относящимся к конкретному числу, а не ко всей совокупности.

И присоединяюсь к Someone: приведите определение счетного множества. И заодно множества натуральных чисел.

[warlock66613]

eugen1937 в сообщении #1365585 писал(а):

Итак, мы показали, что все числа отрезка [0,1] можно поставить в соответствие числам натурального ряда.

Ну и какому числу натурального ряда соответствует $0{,}11111...$?

[eugen1937]

На вопрос : "в какой аксиоматике" опровергнута континуум гипотеза, можно ответить, в той, на которой держится вся арифметика с записью чисел в двоичной системе.
Слова: "Множества натуральных, целых, нечетных и простых чисел равномощны" справедливы. Но они одновременно говорят и о противоречивости самого понятия бесконечности. Они равномощны, в том числе, и потому, что их можно продолжать в бесконечность, сохраняя биекцию. Как нет последнего, самого большого, натурального числа, так нет и конечного натурального числа, соответствующего числу $0.11111....$.
Одно из определений счётного множества таково: Множество счётно, если можно определить его биекцию с множеством натуральных чисел.

[Lia]

eugen1937 в сообщении #1366846 писал(а):

Они равномощны, в том числе, и потому, что их можно продолжать в бесконечность, сохраняя биекцию.

Тем самым, надо полагать, главная неправильность мироустройства заключается в неподходящем для Ваших целей определении биекции. Так?

[kotenok gav]

Я, пожалуй, повторю eugen1937 один мой пост, хочу, чтобы он на него публично ответил:

kotenok gav писал(а):

Что значит 1, 1-2 и 2-3 я писал в предыдущих постах. Могу повторить:
У нас есть бесконечное счетное множество и множество натуральных чисел (тоже бесконечное).
Мы их разбиваем на пары типа $(0,0.0),(1,0.1),(2,0.01)...$.
1. Это тоже самое, что делали вы в первом посте.
2. Тогда по каждому числу из первого множества можно найти пару, а значит и соответствующее натуральное число.
3. Тогда можно найти нат. число (конечное, к примеру, 44542648363 или 29747955658) которое соответствует $0.(01)$.


1, 1-2, или 2-3 (что непонятно, мое 1 утверждение, как из 1 следует 2, или как из 2 следует 3)?

Уместите ответ в 3 знака.

[eugen1937]

Тот факт, что множество счётно или несчётно, конечно же, не зависит от выбора системы счисления. Но выбор системы счисления может облегчить или усложнить доказательство.

Отвечаю на следующее утверждение:
"Он пытается объяснить, что оно не должно иметь "конечный" номер в списке. Я пытаюсь ему объяснить, что это противоречит определению счетности".
Раз счётное множество равномощно бесконечному множеству натуральных чисел, то никакого противоречия нет. Результат деления $1/3$ не может быть представлен в двоичной системе конечным числом цифр. Вот в троичной или двенадцатеричной системах - пожалуйста. В троичной он имеет номер $1$, а в двенадцатеричной номер $4$.
Отвечаю на следующее утверждение:
"Кстати, теперь появилось подозрение (практически стопроцентная уверенность), что Вы не понимаете определения счётного множества. Поэтому будьте любезны сформулировать это определение".
Такая уверенность показывает обратное. Счётное множество это множество равномощное множеству натуральных чисел. Иначе говоря, счётное множество это такое множество, элементы которого можно пронумеровать натуральными числами.

[warlock66613]

eugen1937 в сообщении #1366870 писал(а):

Иначе говоря, счётное множество это такое множество, элементы которого можно пронумеровать натуральными числами.

Так какой же номер вы присвоите числу $0{,}111111 \dots$?

[kotenok gav]

eugen1937
А ответьте на

kotenok gav в сообщении #1366869 писал(а):

1, 1-2, или 2-3 (что непонятно, мое 1 утверждение, как из 1 следует 2, или как из 2 следует 3)?

Но не забудьте

kotenok gav в сообщении #1366869 писал(а):

Уместите ответ в 3 знака.

[mihaild]

eugen1937 в сообщении #1366846 писал(а):

говорят и о противоречивости самого понятия бесконечности

Что такое "противоречивость понятия"?

eugen1937 в сообщении #1366846 писал(а):

Множество счётно, если можно определить его биекцию с множеством натуральных чисел

Неточно, но ладно уж. Правильно так: множество счётно, если существует биекция между ним и множеством натуральных чисел.
Теперь приведите, пожалуйста, используемые определения биекции и натуральных чисел.

Кажется у вас проблемы с совмещением двух утверждений: всего натуральных чисел бесконечно, но каждое конкретное натуральное число - конечно.

eugen1937 в сообщении #1366846 писал(а):

в той, на которой держится вся арифметика с записью чисел в двоичной системе

Это, например, ZF. Но в ZF континуум-гипотеза не опровергается (правда причем тут вообще континуум-гипотеза, если речь идет о несчетности множества вещественных чисел?).

[Someone]

eugen1937 в сообщении #1366820 писал(а):

Континуум гипотезу, надо было бы добавить к системе аксиом

Не надо: ни в какой области математики континуум-гипотеза не является необходимой. Эта задача является внутренней для теории множеств, но и теория множеств без континуум-гипотезы обходится. Конечно, можно найти применения и за пределами теории множеств, но на введение новой аксиомы это совершенно не тянет.

eugen1937 в сообщении #1366820 писал(а):

а она теперь опровергнута

Пока мы видим только безграмотные попытки имитации доказательства теоремы Кантора. Никакого опровержения континуум-гипотезы пока нет.

eugen1937 в сообщении #1366820 писал(а):

Если число не представимо с конечным числом знаков в данной системе счисления, то и номер этого числа не может быть конечным.

Это — безграмотный бред. Вы взялись доказывать счётность множества действительных чисел на отрезке $[0,1]$. Для этого нужно указать последовательность, содержащую все действительные числа отрезка $[0,1]$. Число $\frac 13$ — действительное и принадлежит отрезку $[0,1]$, поэтому оно должно содержаться в этой последовательности, и у него должен быть номер в виде некоторого натурального числа. На всякий случай напоминаю, что никаких бесконечных натуральных чисел не бывает.

Числа, которые имеют конечную запись в двоичной системе счисления, называются двоично рациональными. Множество двоично рациональных чисел счётно, это давно известно. Таким образом, Вы доказали (немножко коряво, поскольку число $1=0{,}(1)_2=0{,}11111111\ldots_2$ осталось без номера), <вставил случайно пропущенный текст>что множество двоично рациональных чисел отрезка $[0,1]$ счётно,<конец вставки> с чем Вас и поздравляю. По сложности это — упражнение для студентов, только что начавших изучать понятие счётности.

Таким образом, никакого опровержения теоремы Кантора нет.

eugen1937 в сообщении #1366846 писал(а):

На вопрос : "в какой аксиоматике" опровергнута континуум гипотеза, можно ответить, в той, на которой держится вся арифметика с записью чисел в двоичной системе.

Предъявите конкретный список аксиом. Потому что известно много формальных систем, на которых вполне может "держаться вся арифметика с записью в двоичной системе" (да и в любой другой; требование записывать числа именно в двоичной системе выглядит несколько странно).

eugen1937 в сообщении #1366846 писал(а):

нет и конечного натурального числа, соответствующего числу $0.11111....$.

Тяжёлый случай. Это число — просто единица, и мне показалось, что Вы это знаете. Но если Ваша безграмотность достигает такого уровня, то дискутировать с Вами явно нет смысла. В таких случаях модератор обычно любым доступным ему способом прекращает дискуссию, а если "опровергатель" ведёт себя агрессивно, блокирует его.

eugen1937 в сообщении #1366846 писал(а):

Одно из определений счётного множества таково: Множество счётно, если можно определить его биекцию с множеством натуральных чисел.

Ну, вижу, что слово "биекция" Вы знаете. Теперь бы ещё понять, что оно означает. Растолкуете?

eugen1937 в сообщении #1366870 писал(а):

Результат деления $1/3$ не может быть представлен в двоичной системе конечным числом цифр.

Начхать. $\frac 13$ — действительное число, принадлежащее отрезку $[0,1]$, поэтому в предъявленной Вами последовательности всех действительных чисел отрезка $[0,1]$ у числа $\frac 13$ должен быть номер в виде конкретного натурального числа (по определению биекции). Естественно, конечного, поскольку бесконечных натуральных чисел не бывает. Или всё-таки не все действительные числа перенумерованы? Тогда давайте официально признаем, что из вашего "опровержения" ничего не вышло.

eugen1937 в сообщении #1366870 писал(а):

Иначе говоря, счётное множество это такое множество, элементы которого можно пронумеровать натуральными числами.

Но числа, не имеющие конечной записи в двоичной системе счисления, Вы почему-то нумеровать не желаете. Между тем, согласно этому определению, должны быть перенумерованы все элементы множества.

Поэтому либо Вы не понимаете определения счётного множества, либо понимаете, но сознательно прикидываетесь с целью троллинга.

[Skipper]

$\frac{1}{3}$ - это вычислимое число. (т.е. такое, что мы можем указать цепочку правил, описывающую, как нам найти
любую цифру после запятой).

А множество все вычислимых чисел, вроде как, счётно?
Если так, то..

Следовательно, при должном подходе, из этого следует, что вообще говоря, eugen1937 , может придумать правила, как их все
(вычислимые действительные числа) - пронумеровать..

А с невычислимыми действительными числами , мы вообще вроде как, не имеем никаких дел (по крайней мере я с ними не сталкивался),
т.к. какой смысл изучать что-то, что мы не можем описать?

Т.е. к примеру невычислимое число такое, что мы не можем узнать и вычислить 10-й знак, его после запятой.
(с позиций формализма - это может означать, что для того чтобы нам этот 10-й знак вычислить - может понадобиться бесконечное время).

Ну и что с такими числами делать, в какой теории?
Так что, они "вроде как есть", но их "вроде как и нет" :)

Правильно я здесь всё понимаю?

(могу и ошибаться. )

[Dmitriy40]

Skipper
Вот тут есть кратко что может порушиться часть анализа. И может что-то станет недоказуемым или даже неверным (имхо).

[warlock66613]

Skipper в сообщении #1366938 писал(а):

А с невычислимыми действительными числами , мы вообще вроде как, не имеем никаких дел

Имеем. Самое широкоизвестное - константа Хайтина.

Skipper в сообщении #1366938 писал(а):

Т.е. к примеру невычислимое число такое, что мы не можем узнать и вычислить 10-й знак, его после запятой.

С чего вы взяли, что такое число вообще существует? Невычислимость означает только невозможность вычислить все цифры этого числа, но это никак не запрещает нам вычислить любое - даже сколь угодно большое - конечное количество цифр этого числа.

[eugen1937]

Вижу вдруг такое утверждение:
"требование записывать числа именно в двоичной системе выглядит несколько странно"
Нет такого требования. Просто, двоичная система в данном случае удобнее.