Опровержение континуум гипотезы.

[eugen1937]

Если я не ошибаюсь, считается, что континуум-гипотезу следует добавить к системе аксиом Цермело-Френкеля. А я уверен, что она опровергается и довольно просто. Оказывается, что можно выбрать такую нумерацию действительных чисел отрезка, что число, получаемое в результате диагональной процедуры, есть всего-навсего граница этого отрезка.

Постановка задачи.

Докажем, что множество вещественных чисел на отрезке [0,1] счётно. Поскольку множество вещественных чисел состоит из множества рациональных и множества иррациональных чисел, тем самым мы докажем, что счётное множество вещественных чисел больше несчётного множества иррациональных чисел. В результате получается противоречие, которое разрешается только в том случае, если континуум-гипотеза неверна, и несчётное множество вовсе не потому таково, что в нём слишком много элементов, чтобы их можно было считать, оно лишь плохо организовано для счёта.
Попутно покажем, что диагональная процедура Георга Кантора вовсе не годится для доказательства того, что существуют множества, содержащие слишком много элементов, чтобы их можно было сосчитать.

Доказательство.

Мы будем пользоваться двоичной системой. Однако, нумеровать числа будем так, чтобы яснее показать несостоятельность диагонального доказательства Георга Кантора.
Всякое вещественное число на отрезке [0,1] можно представить бесконечной двоичной дробью, в которой слева от точки находится нуль.
$A=0.a_1a_2a_3a_4a_5...a_i...$ $(1)$
Среди рассматриваемых чисел найдутся такие, в которых справа имеется бесконечная последовательность из нулей или единиц. Эти числа, естественно, могут быть записаны с конечным количеством значащих цифр и с необязательным добавлением справа нуля в скобках, означающим бесконечную последовательность нулей.
$A=0.a_1a_2a_3a_4a_5...a_n(0)$ $(2)$
где двоичные знаки $a_1...a_{n-1}$ могут принимать значения 0 или 1, а двоичный знак $a_n$ только значение 1.
Вещественное число нуль сопоставим с числом нуль из множества натуральных чисел.
Сопоставление остальных чисел множества вещественных чисел с числами множества натуральных чисел начнём с числа, представленного одной значащей цифрой после двоичной точки. Это число: $0.1(0)$ или $0.1$, которое мы и поставим в соответствие с натуральным числом 1.
Теперь переходим к числам, которые представлены двумя цифрами после двоичной точки. Таких чисел окажется $2$: $0.01$ и $0.11$. Они получат номера $2$ и $3$.
Аналогичным образом пронумеруем числа с тремя цифрами после точки. (Заметим попутно, что нет никакой необходимости продолжать диагональную процедуру бесконечно, как это делает профессор Зенкин). Таких чисел будет $4$: $0.001$, $0.011$, $0.101$, $0.111$. Они получат номера от $4$ до $7$.
Чисел с 4-мя цифрами после точки будет $8$: $0.0001$, $0.0011$, $0.0101$, $0.0111$, $0.1001$, $0.1011$, $0.1101$, $0.1111$. Они получат номера от $8$ до $15$. После этого будем нумеровать числа с 5-ю, 6-ю, 7-ю и так далее значащими цифрами после точки.
Теперь посмотрим, что за число получается в результате диагонального метода Георга Кантора. С этой целью выпишем несколько первых чисел из нашей нумерации.
0 - 0.$0$00000000000000000
1 - 0.1$0$0000000000000000
2 - 0.01$0$000000000000000
3 - 0.110$0$00000000000000
4 - 0.0010$0$0000000000000
5 - 0.01100$0$000000000000
6 - 0.101000$0$00000000000
7 - 0.1110000$0$0000000000
8 - 0.00010000$0$000000000
9 - 0.001100000$0$00000000
10 0.0101000000$0$0000000
11 0.01110000000$0$000000
12 0.100100000000$0$00000
13 0.1011000000000$0$0000
14 0.11010000000000$0$000
15 0.111100000000000$0$00
В этих числах особо выделены цифры, стоящие на диагонали. Это те самые цифры, которые по методу Георга Кантора следует изменить, чтобы получить число, которого нет в нашей последовательности.
Поскольку на диагонали только нули, то результатом диагонального метода Георга Кантора окажется число, в котором, справа от точки будет бесконечный ряд единиц: $0.1111111111...$ или $0.(1)$. Иначе говоря результатом диагонального метода Георга Кантора окажется правая граница отрезка [0,1].
Итак, мы показали, что все числа отрезка [0,1] можно поставить в соответствие числам натурального ряда. Множество вещественных (действительных) чисел счётно.
Что и требовалось доказать.

Выводы.

Континуум-гипотеза несостоятельна. Диагональную процедуру некорректно использовать для доказательства несчётности вещественных чисел. Несчётное множество таково не потому, что содержит слишком много элементов, оно лишь плохо организовано для счёта. Мощность континуума не отличается от мощности множества натуральных чисел. Следовательно, нет оснований для иерархии мощностей и трансфинитных чисел. Следовательно, нет оснований для раскола по вопросам оснований математики. Наоборот, есть почва для объединения математиков всех воззрений. А вместо системы аксиом ZFC математики уже объединёнными усилиями должны разработать систему, более адекватную математической действительности.

[photon]

Тема перемещена из форума «Механика и Техника» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неподходящий раздел;
- излагайте доказательство в этой теме без отсыла ко внешним источникам - оно у вас не настолько большое, чтобы не уместиться в одно сообщение.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[photon]

Видя ваши потуги, дополню, чтобы потом переделывать меньшее количество раз:
1) Все изменения делайте только в этой теме. Не надо плодить новые - все они будут безжалостно удаляться;
2) Все формулы должны быть оформлены в соответствии с правилами данного форума. Как именно, вы можете найти по ссылкам в предыдущем сообщении;
3) Не надо копировать полностью текст статьи, включая историю развития вопроса и благодарности. Пожалуйста, только выжимку без воды: постановка задачи и решение.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[Someone]

eugen1937 в сообщении #1365585 писал(а):

Если я не ошибаюсь, считается, что континуум-гипотезу следует добавить к системе аксиом Цермело-Френкеля.

Ошибаетесь. Нафиг её добавлять? Аксиомы ZFC формализуют основные методы доказательства, применяемые математиками. Континуум-гипотеза касается достаточно частного вопроса, и в списке аксиом ей не место. Если Вам для доказательства теоремы понадобилась континуум-гипотеза или её отрицание, напишите в формулировке теоремы, что предполагается истинность или ложность континуум-гипотезы, и пользуйтесь на здоровье.

eugen1937 в сообщении #1365585 писал(а):

Среди рассматриваемых чисел найдутся такие, в которых справа имеется бесконечная последовательность из нулей или единиц. Эти числа, естественно, могут быть записаны с конечным количеством значащих цифр

Давайте начнём с того, что Вы запишете "с конечным числом значащих цифр" в двоичной системе счисления число $\frac 13=0{,}(01)_2=0{,}01010101\ldots_2$. Запись должна быть точной.

[Xaositect]

Цитата:

Итак, мы показали, что все числа отрезка [0,1] можно поставить в соответствие числам натурального ряда. Множество вещественных (действительных) чисел счётно.

Какому натуральному числу соответствует число $1/3$ отрезка $[0;1]$?

[kotenok gav]

Вот я это уже говорю ему 20 раз, наверно.

[mihaild]

(Оффтоп)

Я, конечно, согласен, что из счетности множества вещественных чисел следует отрицание континуум-гипотезы, но вроде бы тут даже это не показано?

[provincialka]

Если я правильно поняла, доказательство опирается на то, что $0,11111..._2=1$. Но вот что странно: если "диагональное" рассуждение провести в десятичной системе счисления, можно избежать использования девяток вообще. Так что получится число, имеющее единственную десятичную запись. Которого, в силу этого, нет в списке.

Так что же, факт счётности/несчетности зависит от выбора системы счисления??

[Someone]

kotenok gav в сообщении #1366620 писал(а):

Вот я это уже говорю ему 20 раз, наверно.

Мы ему не будем говорить 20 раз. Если eugen1937 не объяснит немедленно, как записать $\frac 13$ конечной двоичной дробью, и не укажет, под каким номером это число находится в его списке, тема отправится в Пургаторий. То же самое будет, ежели появятся какие-нибудь глупости про бесконечные натуральные числа.

[kotenok gav]

Он пытается объяснить, что оно не должно иметь "конечный" номер в списке. Я пытаюсь ему объяснить, что это противоречит определению счетности.

[Lia]

kotenok gav
Тут одно из двух: либо Вы обсуждаете тему только на форуме, либо не вытаскиваете пересказ личной переписки наружу.

[kotenok gav]

Он согласился ее выложить.

[Lia]

Это уже лучше, но в любом случае, желательно слышать ТС без посредников.

[Someone]

kotenok gav, конечно, нельзя запретить Вам обсуждать что-либо в личной переписке, но, поскольку тема была начата для всех, наверное, её следует обсуждать в открытом доступе. Кстати, я стараюсь избегать обсуждения дискуссионных тем в личной переписке.

eugen1937, если Вы отказываетесь обосновывать свои утверждения в открытой теме, она может быть перемещена в Пургаторий, где Вы не сможете продолжать обсуждение.
Кстати, теперь появилось подозрение (практически стопроцентная уверенность), что Вы не понимаете определения счётного множества. Поэтому будьте любезны сформулировать это определение.