Доброго времени суток.
В рамках подготовки к экзамену наткнулся на задачу, решения которой я совершенно не понимаю!
Пример и решение взяты из сборника подготовки в разделе нахождения НОД, далее привожу само условие:
Целые числа

и

не имеют общих делителей, отличных от 1 и -1. Является ли дробь

сократимой при различных

и

Решение выглядит следующим образом:
Пусть:

(от англ.
greatest common divisor);
Тогда справедливы равенства:

Где числа

и

взаимно просты. Значит, дробь можно сократить только на один из делителей числа

, отличный от 1.
Запишем

,

.
Отсюда

.
Конец решения по решебнику\задачнику, из которого я понимаю только смысл вот этой части:
Цитата:
Пусть:

(Поскольку только положительный целый общий делитель, отличный от 1 будет "сокращать" данную дробь)
Например, я не понимаю, откуда в данном случае взялась система уравнений, что за переменные

и

и для чего они были введены, что значит итоговое

?
Самостоятельное успешное выведение

и

к тому виду, в котором эти переменные представлены в задаче, никаким образом не привели меня к пониманию, также как и многочасовое разглядывание свойств Наибольшего Общего Делителя.
На тот случай, если кто-нибудь заинтересуется источником задачи:
Название задачника и издательство, год издания: ЕГЭ-2019. Математика. Решение задач.
Авторы: В. В. Мирошин, А. Р. Рязановский.
Тут можно пролистать до данной задачи (страница 10, чуть ниже описания есть предпросмотр)
Целью считаю именно полное понимание данного решения, а так же хода мысли автора.
Всем, кто сможет помочь, заранее выражаю огромную благодарность!