2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Теорема Геделя о неполноте
Сообщение03.01.2019, 20:09 


26/12/18
155
Поскольку ZF/ZFC включают арифметику Пеано, по меньшей мере предложения Гёделя "я недоказуемо" и соответствующие диофантовы примеры продолжают оставаться невыводимыми в ZF/ZFC; стало быть, "экспертный уровнь доказательства" это скорее (неформальный) уровень обычной практики математиков-профессионалов. В этом и заключается, насколько понимаю, смысл результата Гёделя: иначе бесспорные мат. факты/"истины" остаются за пределами строгой аксиоматизации.

В этом смысле не думаю, что аксиома детерминированности (АД) будет достаточно "бесспорной/очевидной", дабы присобачить к первому классу :) , АД даже с аксиомой выбора (АВ) не совместима.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя о неполноте
Сообщение03.01.2019, 21:10 
Заслуженный участник


02/08/11
6909
mihaild в сообщении #1365707 писал(а):
А можно взять такую формулировку: "в любой игре без случайности и с полной информацией у одного из игроков есть выигрышная стратегия". Это не относит аксиому детерменированности к первому классу?
Я бы сказал, что относит, но математики не согласны:
Someone в сообщении #1324492 писал(а):
предложения заменить аксиому выбора аксиомой детерминированности, которые когда-то встречались, выглядят дикостью, даже несмотря на то, что в том математическом анализе, который студенты изучают на первом курсе, ничего не изменится. Аксиома детерминированности, конечно, очень интересна (в основном специалистам в дескриптивной теории множеств), но весьма контринтуитивна, а её непосредственное применение, в отличие от аксиомы выбора, выглядит совершенной головоломкой.
И даже "специалистам в дескриптивной теории множеств" она "интересна" только в каком-то извращённом смысле:
Someone в сообщении #1249903 писал(а):
Я встречал математиков, которые активно исследовали следствия аксиомы детерминированности, но ни один из них не жаждал похоронить аксиому выбора.
То есть даже математики, работающие в области, где аксиома детерминированности, как пишет Кановей, "решает многие проблемы из области проективных множеств, которые невозможно решить на базе традиционных теоретико-множественных аксиом, даже с добавлением аксиомы выбора", всё равно не сочли её приемлемой для себя.

-- 03.01.2019, 22:21 --

Sycamore в сообщении #1365729 писал(а):
Поскольку ZF/ZFC включают арифметику Пеано, по меньшей мере предложения Гёделя "я недоказуемо" и соответствующие диофантовы примеры продолжают оставаться невыводимыми в ZF/ZFC
Ну вообще-то нет - именно эти не остаются. Но, конечно, можно построить аналогичные невыводимые штуки и для ZFC.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя о неполноте
Сообщение03.01.2019, 21:25 


26/12/18
155
именно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя о неполноте
Сообщение04.01.2019, 21:33 


26/12/18
155
А начал эту дискуссию вот почему.

Второй класс "аутентичных" неразрешимых предложений можно понять: несмотря на взаимное исключение, обе альтернативы будут логически "равноправными" - видимо потому, что прибавляют существенно нового содержательного смысла к наличным аксиомам и потому остаются с ними совместимыми. Это особо заметно в области больших кардиналов/мощностей, где потолка нет и произвол в выдумывании таковых доходит до бессмысленного как-бы, anything goes.

В заметном отличии, альтернативы невыводимым предложениям первого класса видимо "неравноправны" и даже вполне себе "ошибочны", так сказать: у диофантова уравнения или будет решений, или не будет, третьего не дано; не может быть ни того, ни другого, в точности одна и только одна из двух альтернатив реализуется, может пока не знаем какая из двух. К примеру, ещё до Евклида знали, что простых будет или конечное число, или их бесконечно много, третьего не могло быть, что и подтвердилось: простых оказалось/"доказало Евклидом" бесконечно много.

ЧЕГО "не хватает" арифметике Пеано с её логикой, дабы "предвосхитить" такие случаи и не оставлять дверца открытого для безупречного вывода видимо неправдоподобных/"нестандартных" альтернатив наподобие сверху? Скорее всего, (формально-аксиоматически) недоказуемых предложений нашего первого класса неперечислимо и даже несчётно много и остаётся только удивляться как мозг наш сразу и несомненно узнаёт их для себя как ... доказанными, не замечая даже, что ранг у них скорее постулатов/аксиом, а не выводимых теорем...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя о неполноте
Сообщение04.01.2019, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8767
Цюрих
Sycamore в сообщении #1365990 писал(а):
недоказуемых предложений ... [i[несчётно[/i] много
Предложений всего счетно.
Sycamore в сообщении #1365990 писал(а):
мозг наш сразу и несомненно узнаёт их для себя как ... доказанными
Если Ваш мозг сразу и несомненно, только увидев определение, понял, что, например, все последовательности Гудштейна конечные - то мне остается только снять шляпу и попытаться выяснить, как вы это делаете (можете попробовать описать?).
Если же нет - то, скорее всего, вы, как и я, как и многие раньше и позже, придумали или проверили доказательство этого утверждения в ZF. Можно было взять вместо ZF другую теорию и доказать, что существует бесконечная последовательность Гудштейна.
Вся разница только в том, что ZF кажется "интуитивной".

Sycamore в сообщении #1365990 писал(а):
Это особо заметно в области больших кардиналов/мощностей, где потолка нет и произвол в выдумывании таковых доходит до бессмысленного как-бы, anything goes.
С арифметикой, на самом деле, то же самое - могут быть какие-то "слишком большие" числа, которые кодируют какие-то странные вещи (и если пытаться, например, кодировать последовательности числами, то эти "слишком большие" числа как раз вместо наших интуитивных последовательностей кодируют что-то странное).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя о неполноте
Сообщение05.01.2019, 00:38 


26/12/18
155
Не был уверен, но естественно ожидать, что такие недоказуемые в арифметике теоремы как Рамсея, Гудстейна и другие (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BA%D0%B8) можно будет доказать в некоторой подходящим образом аксиоматизированной теории множеств - дело, конечно, не в лёгкости или очевидности, а в убедительности и бесспорности такого доказательства на экспертно-интиутивном уровне. Полагаю, что арифметика не менее интуитивна, чем ZF, просто нарочито "слабее", а ZF уже на грани интуитивности :-)

Для меня остаётся как-бы загадкой то, что даже в ZF продолжают здравствовать, по-видимому, сравнительно тривиальные Гёделевы "я недоказуемо" (в ZF, то бишь), могут, значит, здравствовать и другие подобные (диофантовые уравнения?), для включения которых потребуется ad-hoc расширений ZF и пр.

mihaild в сообщении #1365996 писал(а):
Sycamore в сообщении #1365990 писал(а):
Это особо заметно в области больших кардиналов/мощностей, где потолка нет и произвол в выдумывании таковых доходит до бессмысленного как-бы, anything goes.
С арифметикой, на самом деле, то же самое - могут быть какие-то "слишком большие" числа, которые кодируют какие-то странные вещи (и если пытаться, например, кодировать последовательности числами, то эти "слишком большие" числа как раз вместо наших интуитивных последовательностей кодируют что-то странное).
Не понял про кодировние каких последовательностей идёт речь, но показалось, что - в отличие от минимального и регулярного +1 для "слишком больших" натуральных - генерация больших кардиналов происходит ... чёрт знает как)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя о неполноте
Сообщение05.01.2019, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
mihaild в сообщении #1365996 писал(а):
Если же нет - то, скорее всего, вы, как и я, как и многие раньше и позже, придумали или проверили доказательство этого утверждения в ZF. Можно было взять вместо ZF другую теорию и доказать, что существует бесконечная последовательность Гудштейна.
Существуют модели арифметики Пеано, в которых имеются неограниченно продолжаемые последовательности Гудстейна, то есть, в этих моделях теорема Гудстейна неверна. Где-то мне попадалась статья, в которой такие модели строились.

mihaild в сообщении #1365996 писал(а):
С арифметикой, на самом деле, то же самое - могут быть какие-то "слишком большие" числа, которые кодируют какие-то странные вещи
Недоказуемость часто связана с какой-нибудь "слишком быстро растущей" функцией. Например, длина последовательности Гудстейна растёт "слишком быстро", поэтому средства арифметики Пеано оказываются недостаточными для того, чтобы доказать, что эта последовательность всегда заканчивается нулём.

Sycamore в сообщении #1365586 писал(а):
Сообщение сверху скорее неудачно отражает следующий вопрос о напрашивающемся различии между как-бы двумя классами аксиоматически/формально недоказуемых предложений. С одной стороны, это класс оригинальных Гёделевых предложений "я недоказуемо", арифметических теорем Рамсея (результат Пэриса - Харрингтона, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BD%D0%B0 ) и Гудстейна, диофантова примера неполноты вслед за Матиясевичем (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BC%D0%B0 ) и других подобных, видимо "истинных/доказанных" на экспертном, хоть и неформальном, уровне предложений.
У Вас тут какая-то каша.

Прежде всего, в арифметике Пеано невозможно сформулировать утверждение "я недоказуемо" или "арифметика Пеано непротиворечива" (это невозможно ни в какой формальной теории). Всякие утверждения о доказуемости или недоказуемости формул формальной теории принадлежат метатеории, поэтому речь идёт о некоем хитром метаутверждении, которое, будучи определённым образом закодировано, превращается в некоторое арифметическое утверждение, которое, в свою очередь, недоказуемо в арифметике Пеано (деталей я не знаю). Если не знать заранее, что и как закодировано, то мы будем иметь дело просто с некоторой арифметической формулой. Поскольку эта формула недоказуема и неопровержима, то мы можем добавить в список аксиом либо саму эту формулу, либо её отрицание. Однако при этом мы получаем другую формальную теорию, в которой эта формула теряет свой закодированный смысл.

То же относится и к другим указанным Вами примерам. Например, диофантово уравнение, не имеющее решений в одной модели арифметики, может иметь решение в другой. Другое дело, что, возможно, мы никогда это решение найти не сможем (нестандартные модели арифметики неконструктивны).

Sycamore в сообщении #1365586 писал(а):
С другой стороны, накопилось уже множество предложений (аксиома выбора, гипотеза континуума, аксиома детерминации и другие подобные, преимущественно в теории множеств), которые не только недоказуемы (аксиоматически/формально или не), но и неразрешимы в смысле логической непротиворечивости/совместимости их отрицаний/альтернатив с остальными аксиомами (даже древняя проблема параллельных попадает сюда).
В этом отношении "второй" класс ничем не отличается от "первого".

Sycamore в сообщении #1366037 писал(а):
Не был уверен, но естественно ожидать, что такие недоказуемые в арифметике теоремы как Рамсея, Гудстейна и другие (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BA%D0%B8 ) можно будет доказать в некоторой подходящим образом аксиоматизированной теории множеств
Упомянутые Вами теоремы доказуемы в ZF. Поэтому ничего изобретать не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя о неполноте
Сообщение05.01.2019, 04:40 


26/12/18
155
Насчёт Гёделева "я недоказуемо" в детали не хотел влезать, важно было, что это вполне себе нормальная/"верная" арифметическая формула, которая оказывается за пределами аксиоматики. Насколько понимаю, такая формула останется (в заметном отличии от Рамсея, Гудстейна и пр.) за пределами не только ZF, но и любой другой мало-мальски интересной теории. Может, подобное будет и с подходяще построенными диофантовыми уравнениями.

Удивляет и занимает концептуальное происхождение такого феномена. Я понимаю, что можно строить (непротиворечивые) модели со сколь угодно "неинтуитивными" аксиомами, но каково значение/ценность таких моделей, насколько ими занимаются? Как-то показалось, что некоторые альтернативы (некоторым "железным" предложениям из "первого" класса) не стоят свеч...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя о неполноте
Сообщение05.01.2019, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Sycamore в сообщении #1366096 писал(а):
Насчёт Гёделева "я недоказуемо" в детали не хотел влезать, важно было, что это вполне себе нормальная/"верная" арифметическая формула, которая оказывается за пределами аксиоматики. Насколько понимаю, такая формула останется (в заметном отличии от Рамсея, Гудстейна и пр.) за пределами не только ZF, но и любой другой мало-мальски интересной теории. Может, подобное будет и с подходяще построенными диофантовыми уравнениями.
Ерунда это всё.
Извините, но Вас несёт в околоматематическую псевдофилософию. Мне это не интересно. Судя по "активности" других профессиональных математиков форума, их это интересует ещё меньше, чем меня. А у меня в данный момент просто слабый приступ дискуссионного зуда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя о неполноте
Сообщение05.01.2019, 22:57 


26/12/18
155
Да, и спасибо Вам за зуд - случаем натолкнулся на обучение Вами форумчан кардиналам или чему-то подобному.

Я стараюсь не забывать, что сам не специалист (мягко выражаясь) и стараюсь также учиться у таковых. Давным-давно как-то произвело впечатление, что в выкладках в своей книге о гипотезе континуума Пол Коэн часто ссылался на теорему Гёделя о непротиворечивости, что остроумно и элегантно выводится из теоремы о неполноте. Потому показалось, что феномен неполноты фундаментален и может всплыть неожиданно.

Позже, в своей книжке "Доказуемое и недоказуемое" Ю.И. Манин вроде коротко упомянул, что если учесть (совершенно неконструктивным образом, видимо) некое бесконечное множество предложений арифметики, то она стала бы полной; помню, что плохо понял что это за множество :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group