Предел по базе

[xjar1]

Приветствую, помогите разобраться в следующем (читаю учебник Зорича)

Цитата:

Совокупность $\mathfrak{B}$ подмножеств $B \subset \mathfrak{B}$ множества $X$ будем называть базой в $X$, если
1. $\forall B \in \mathfrak{B} \; ( B \ne \emptyset)$
2.$\forall B_1,B_2 \in \mathfrak{B} \; $ $ \exists B \in \mathfrak{B} \; (B \subset B_1 \cap B_2)$

Пусть $X=\mathbb{R}$. Выберем следующую базу: $\mathfrak{B}=\{B_1,B_2,...\}$
$B_1=[ -10,10] \setminus\{0\}$
$B_2=[ -9,9] \setminus\{0\}$
...
$B_9=[ -2,2] \setminus\{0\}$
$B_{10}=[ -1,1] \setminus\{0\}=B_{11}=B_{12}=\ldots$, т.е. все остальные элементы базы равны.

Правильно ли я понимаю, что это будет являться базой?
Чему тогда равен предел $\lim_\mathfrak{B}x$? По определению найти не получается, а как у меня получилось по критерию Коши, этот предел существует:

Цитата:

$\exists \lim_\mathfrak{B}x \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0 \; \exists B \in \mathfrak{B} \; (\omega(f,B)<\varepsilon)$

В нашем случае $\forall \varepsilon>0 \; \exists [-a,a]\setminus\{0\} \in \mathfrak{B}\; (2a<\varepsilon)$

[pogulyat_vyshel]

xjar1 в сообщении #1364512 писал(а):

нашем случае $\forall \varepsilon>0 \; \exists [-a,a]\setminus\{0\} \in \mathfrak{B}\; (2a<\varepsilon)$

Неужели?

[vpb]

$[-a,a]\setminus\{0\}$ таки не элемент базы, если $a$ не одно из $1$, $2$, ... , $10$.

[xjar1]

Упс Конечно, глупость сморозил... Спасибо!

Правильно ли я понимаю, что в случае $X=\mathbb{R}$ в базе должны присутствовать сколь угодно малые интервалы?
И еще, элементов в базе всегда бесконечное число?

[vpb]

Если Вы хотите, чтобы предел по базе совпадал с пределом в обычном смысле (и существовал тогда и только тогда, когда существует обычный) --- то да. Т.е. база должна быть эквивалентна обычной (в каждом элементе одной из них содержится некоторый элемент другой).

[ewert]

xjar1 в сообщении #1364512 писал(а):

$B_{10}=[ -1,1] \setminus\{0\}=B_{11}=B_{12}=\ldots$, т.е. все остальные элементы базы равны.

Обычно в определении базы добавляют слова: "бесконечное количество подмножеств". Тем самым подразумевается, что все эти подмножества различны (иначе слова "бесконечное количество" просто лишаются смысла).

xjar1 в сообщении #1364524 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что в случае $X=\mathbb{R}$ в базе должны присутствовать сколь угодно малые интервалы?

Формально говоря -- нет (другое дело, есть ли практический смысл в ситуациях, когда база не согласуется с привычной топологией). И что самое главное: база может и вовсе не включать в себя хоть какие-то интервалы. Скажем, если интерпретировать предел последовательности как предел по базе, то в этом случае база -- это просто некоторый набор подмножеств множества натуральных чисел. Собственно, именно для этой цели бантик в виде "предела по базе" и сочинялся -- для того, чтобы можно было максимально единообравзно описывать самые разные понятия предела.