Прогрессия из корневищ

[Ktina]

Корневищем натурального числа называется наибольший делитель этого числа, не превышающий его корень. Например, у положительных точных квадратов корневище равно корню.
Как доказать, что существует арифметическая прогрессия (с ненулевой разностью) любой наперёд заданной длины, состоящая из натуральных чисел, корневища которых также образуют арифметическую прогрессию?

[gris]

То есть типа такого?
$7,14,21,28,35,42\to 1,2,3,4,5,6$

[Ktina]

gris
Мне эта задача поначалу казалась исследовательской, а в итоге оказалась школьной, причём даже не олимпиадной. Причём арифметическая прогрессия из корневищ получится тоже с ненулевой разностью.

[gris]

Я и предположил, что вы клоните к арпрогрессиям без пропусков из простых чисел Но это вроде бы открытая проблема?

[Ktina]

gris
Уже не открытая, есть теорема Тао, кажется...

[kotenok gav]

Тао-Грина.

[Ktina]

kotenok gav
Совершенно верно!
https://en.wikipedia.org/wiki/Green%E2%80%93Tao_theorem