1^4+2^4+3^4+5^4+6^4

[venco]

Соответственно, задача - какие натуральные числа представимы в виде суммы разных квадратов, кубов, и так далее.
Для квадратов и кубов количество непредставимых чисел конечно, и, похоже, это верно для всех степеней.

[ET]

venco в сообщении #1365298 писал(а):

Соответственно, задача - какие натуральные числа представимы в виде суммы разных квадратов

Все, начиная с 129
С разными кубами тоже. наверняка все начиная с... несколко тысяч
Я когда-то тестировал задачу о рюкзаке на полных квадратах и нашел, что начиная с 129 незаполненного рюкзака не бывает
Потом пруф придумал.. там что-то вроде для всех $N>323$ кажется между $\frac N2$ и $N-129$ обязательно найдется полный квадрат. До этйо константы проверено уже все компом было, а после нее - индукция работает

UPD перерешал уравняшку, начиная с 310 можно гарантировать полный кадрат между этими числами

[grizzly]

ET в сообщении #1368551 писал(а):

Потом пруф придумал.

Действительно, простая и красивая идея. И будет работать для любой степени, для которой удастся подобрать нужные представления для базы индукции. Я до этой идеи не дошёл -- застрял на поиске теоретического обоснования самой базы, без чего произвольную степень всё равно этой идеей не закрыть.

[ET]

Щас вспомнил о своем этом старом эксперименте. Перенаписал проверочный скриптик
Для 3х степеней при проверке до миллиона последнее непредставимое число 12758
Для 4х степеней при проверке до 100 миллионов последнее непредставимое число 5134240
Вроде, довольно убедительно что они последние вообще? Там же требуется превышение не сильно больше, чем в 2 раза

[Yadryara]

Уже многое украдено до нас: A001661.

ET в сообщении #1368789 писал(а):

Там же требуется превышение не сильно больше, чем в 2 раза

Превышение чего над чем?

[ET]

Yadryara в сообщении #1368794 писал(а):

Превышение чего над чем?

Максимального проверенного к максимальному непредставимому при этой проверке
В частности, для четвертых степеней в даном случае надо, чтобы $\sqrt[4]{100000000-5134241}-\sqrt[4]{\frac{100000000}{2}}>1$, чтобы индукция работала, что так и есть

-- Вт янв 15, 2019 12:50:15 --

Yadryara в сообщении #1368794 писал(а):

Уже многое украдено до нас: A001661.

В принципе, для 5х степеенй число небольшое, тоже можно было бы, наверное, за полчасика его получить, если не замахиваться сразу на 10 мильярдов, а ограничиться 300-500 миллионами