2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мнимая временная координата и электродинамика
Сообщение31.12.2018, 17:57 


24/08/18
57
Условия кватернионной аналитичности кватерниона
$e = ({e_0} + {{ie}_1} + {{je}_2} + {{ke}_3})$
есть ("Кватернионы в релятивистской физике")
$0 = {{({e_0} + {{ie}_1} + {{je}_2} + {{ke}_3})}_{,0}} + {{i({e_0} + {{ie}_1} + {{je}_2} + {{ke}_3})}_{,1}} + {{j({e_0} + {{ie}_1} + {{je}_2} + {{ke}_3})}_{,2}} + {{k({e_0} + {{ie}_1} + {{je}_2} + {{ke}_3})}_{,3}}$
Раскрывая скобки, используя правило умножения кватернионных мнимых единиц Гамильтона и группируя по типам мнимых единиц, получаем уравнение
$0 = ({e_{0,0}} - {e_{1,1}} - {e_{2,2}} - {e_{3,3}}) + i({e_{0,1}} + {e_{1,0}} - {e_{2,3}} + {e_{3,2}}) + j({e_{0,2}} + {e_{1,3}} + {e_{2,0}} - {e_{3,1}}) + k({e_{0,3}} - {e_{1,2}} + {e_{2,1}} + {e_{3,0}})$
Для получения отсюда вакуумных уравнений электродинамики удобно использовать в качестве компонент кватерниона (e_1, e_2, e_3) компоненты комплексного вектора ЭМП E + IH, квадрат которого дает его инварианты (а вовсе не H - IE, как в названной книге) и мнимую временную координату It (c = 1), так как при дифференцировании по ней мнимую единицу, стоящую в знаменателях, необходимо заменять на минус мнимую единицу в числителях, благодаря чему
$0 = [-({E_{1,1}} + {E_{2,2}} + {E_{3,3}}) - I({H_{1,1}} + {H_{2,2}} + {H_{3,3}})] + i[-I({E_{1,t}} + {H_{2,3}} - {H_{3,2}}) + ({H_{1,t}} + {E_{3,2}} - {E_{2,3}})] + j[-I({E_{2,t}} + {H_{3,1}} - {H_{1,3}}) + ({H_{2,t}} + {E_{1,3}} - {E_{3,1}})] + k[-I({E_{3,t}} + {H_{1,2}} - {H_{2,1}}) + ({H_{3,t}} + {E_{2,1}} - {E_{1,2}})]$
Так действительно ли необходимо избавляться от мнимой временной координаты при переходе от СТО к ОТО, как говорится в МТУ-1, если именно она дает уравнения электродинамики из условия кватернионной аналитичности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимая временная координата и электродинамика
Сообщение31.12.2018, 23:56 


28/08/13
455
Alastoros в сообщении #1365111 писал(а):
Так действительно ли необходимо избавляться от мнимой временной координаты при переходе от СТО к ОТО, как говорится в МТУ-1, если именно она дает уравнения электродинамики из условия кватернионной аналитичности?

Я ни разу не математик, кватернионов не знаю, но изучал немножко СТО и ОТО, поэтому мой ответ таков: электродинамику можно построить без кватернионов, да и без мнимой единицы тоже если ввести векторы и 1-формы(ко- и контрвариантные координаты векторов, что то же самое).
Если по-простому, то мнимая единица в электродинамике нужна, чтобы cкалярное произведение четырёхмерных векторов в геометрии Минковского(которая в СТО) писать в той же форме, что и в евклидовой геометрии: $AB=A_iB_i$.
Тогда метрика у нас типа евклидова и о ней можно поэтому не думать вообще.
В ОТО такой трюк не прокатывает, ибо нетривиальная метрика, меняющаяся от точки к точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимая временная координата и электродинамика
Сообщение01.01.2019, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
02/09/19
70490
Alastoros в сообщении #1365111 писал(а):
удобно использовать в качестве компонент кватерниона (e_1, e_2, e_3) компоненты комплексного вектора ЭМП E + IH, квадрат которого дает его инварианты (а вовсе не H - IE, как в названной книге)

Во-первых, нет никакой разницы. Во-вторых, это уже не настоящие кватернионы, потому что в настоящих компоненты действительные.

Alastoros в сообщении #1365111 писал(а):
Так действительно ли необходимо избавляться от мнимой временной координаты при переходе от СТО к ОТО, как говорится в МТУ-1, если именно она дает уравнения электродинамики из условия кватернионной аналитичности?

В третьих, электромагнитное поле - всего лишь одно из многих полей. Нет никакого смысла подгонять математику именно под него, если остальные не получают аналогичных выгод. (В начале 20 века остальных полей не знали, и поэтому придумывали много философской ерунды на пустом месте. Сегодня это не выглядит разумным.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group