Сложение на петлях

[Ioda]

Пусть дано топологическое поостранство $X$. Зафиксируем в нем бесконечное счетное множество точек $Y\subseteqX$. Пусть существует отображение $\rho:\mathbb{P} \to Y$ из множества простых чисел в данное множество точек. Также пусть есть отображение $\psi: Y \to \mathcal{F}$ ,где:

$$\mathcal{F}=\left\lbrace f\in\mathcal{F}|f:S^1 \to X\right\rbrace$$

Также зададим условия: петли сопоставляемые точкам являются петлями из сопоставляемые петле точки и в сопосталяемую петле точку, и существует петля проходящая все точки $Y$ ,назовем ее нулевой ,и петли не пересекаются ни в каких точках $X$ ,кроме одной ,которой сопоставляется число 1 (по сути я включил единицу во множество простых чисел ,но этим я стремился сохранить свойство ее идемпотентности для умножения,извините). Зададим умножение на данных петлях следующим образом: зафиксируем положительное направление обхода петель, допустим, по часовой стрелке (по-моему это должно говорить о каких-то свойствах $X$, но я не знаю каких ). Тогда пусть однократный обход петли при положительном направлении обхода из точки $a_i$ обратно в эту же точку будет являться числом сопоставляемым точке $a_i$ - $p_i$ (далее подразумевается положительное направление обхода ,если не оговорено иное). Тогда $n$- кратному обходу петли из точки $a_i$ в нее сопоставим число $p_i^n$. Пусть число ,которое нам необходимо задать ,не являющееся степенью простого числа, составное, тогда пусть нам известно его разложение на простые множители :

$$b=\prod\limits_{i=1}^{\infty}p_i^{n_i}$$

Тогда мы будем обходить петли следующим образом : $n_{i_1}$-кратный обход петли наименьшего неединичного $p_{i_1}$ , переход по нулевой петле к следующему наименьшему $p_{i_2} \ne p_{i_1}$ и его $n_{i_2}$-кратный обход и так далее с последующим возвращением из
точки наибольшего простого делителя по нулевой петле в исходную точку. Единственность и существование порядка обхода гарантирует основная теорема арифметики.
Я думал ввести еще ноль ,посредством той самой нулевой петли ,но не смог придумать как . Также хотелось бы как-то ввести сложение ,но я тоже не могу придумать как. Ясно ,что данное множество петель может быть задано неоднозначно ,но мне кажется введение некоторого отношения эквивалентности сведет все к единообразному виду.

[Ioda]

Можно попробовать обойтись без нулевой петли. Определим отображение $h:\mathbb{P}\to\mathcal{F}$ . Также пусть $X$ - суть топологическое пространство с отмеченной точкой $x_0$ и все петли ,рассматриваемые нами, это петли из нее в нее. Тогда ,также зафиксируем положительное направление обхода (по часовой стрелке )(значит $X$ ориентированное пространство ) и примем ,что все сопоставляемые отображением $h$ петли пересекаются в одной и только в одной точке ,коей является $x_0$ . Умножение на данном множестве введем следующим образом : произведением петель $f_i$ и $f_j$ является петля $f_i\ast f_j$ ,которую мы обходим следующим образом: из точки $x_0$ мы обходим петлю $f_i$ ,возвращаемся в $x_0$ и обходим петлю $f_j$ . Для данных петель также верен многократный обход одной петли ,упомянутый в предыдущем посте. Попытаемся ввести групповую структуру. Пусть обратным элементом для петли $f$ является та же петля $f$, но пройденная в обратном направлении ,тогда нейтральным элементом будет являться точка $x_0$ ,по сути являясь вырожденной петлей. Легко проверяется ассоциативность данного умножения , существование обратного элемента (по построению ), существование единицы (также по построению ). К сожалению, здесь я тоже сталкиваюсь с неоднозначностью задания петель ,но думаю ,это также устраняется введением какого-нибудь отношения эквивалентности. Меня смущает ,то что я получил групповую структуру, абсолютно игнорируя, то откуда я получил элементы группы. И можно как-то использовать в таком случае теорию групп?