упрощение big-O выражений

[Munin]

Otta в сообщении #1363422 писал(а):

Оно такое существовать может только положительное.

Или иногда 0. Кажется.

[dp]

mihaild в сообщении #1363200 писал(а):

dp в сообщении #1363198 писал(а):

$1+|x^3|<\frac{1}{1+C|x^2|}$

Посмотрите еще раз внимательно на определение - где должен стоять модуль и что умножать на $C$, и напишите его правильно для ваших функций (у вас расписано неправильно).

Не понял на что смотреть, но в том же курсе есть ссылка на книжку где объясняются эти упрощения. В частности там сказано:

Цитата:

$\frac{1}{1+O(g(x))}=1+O(g(x))$

valid when $g(x) \to 0 $

This relation is to be interpreted from left to right as described in preceding subsection. So this estimate means that any function $f(x)$ satisfying $f(x) = \frac{1}{1+O(g(x))}$ also satisfies $f(x) = 1+O(g(x))$

То есть если взять $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ которая "satisfies" $\frac{1}{1+O(x^3)}$ , то она так же "satisfies" $1+O(x^3)$

Но в обратную сторону не работает. То есть если взять $f(x)=1+x^3$ которая "satisfies" $1+O(x^2)$ , то она НЕ "satisfies" $\frac{1}{1+O(x^2)}$

Это вроде понятно, непонятно только зачем тут использовать знак равенства, если это работает только в одном направлении.

Да и вообще как тут можно ставить знак равенства когда между $\frac{1}{1+O(x^3)}$ и $1+O(x^3)$ существует бесконечное множество функций которые удовлетворяют второму, и не удовлетворяют первому.

[mihaild]

dp в сообщении #1363826 писал(а):

Не понял на что смотреть

mihaild в сообщении #1363200 писал(а):

где должен стоять модуль и что умножать на $C$

Выражение $f(x) = \frac{1}{1 + O(x^3)}$ не означает что $f(x) < C \left| \frac{1}{1 + O(x^3)}\right|$ для какой-то $C$. Оно означает, что существует функция $h(x)$ такая что $h(x) < C|x^3|$ для какой-то $C$, и $f(x) = \frac{1}{1 + h(x)}$.

dp в сообщении #1363826 писал(а):

То есть если взять $f(x)=1+x^3$ которая "satisfies" $1+O(x^2)$ , то она НЕ "satisfies" $\frac{1}{1+O(x^2)}$

Найдите $h$ такую что $1 + x^3 = \frac{1}{1 + h(x)}$, и проверьте, выполнено ли $h(x) = O(x^2)$.

dp в сообщении #1363826 писал(а):

зачем тут использовать знак равенства, если это работает только в одном направлении

В данном случае работает в обоих. Но вообще в выражениях с $O$ иногда пишут равенство, подразумевая подмножество.

[dp]

Тогда так (все при $x \to 0$):

есть $a(x)=\frac{1}{1 + O(g(x))}$ пусть $g(x)=x^2$ тогда $f(x) = \frac{1}{1 + x^3}$ удовлетворяет $a(x)$ так как $x^3 = O(x^2)$

нам надо чтобы $f(x)$ удовлетворяло $1 + O(g(x))$ то есть $1 + O(x^2)$.

раскладываем в ряд Тейлора $f(x) = \frac{1}{1 + x^3} = 1 - x^3 + x^6 - ... $ то есть $ f(x) = 1 + O(x^2)$

так же и в другую сторону:

есть $b(x) = 1 + O(g(x))$ пусть $g(x)=x^2$ тогда $f(x) = 1 + x^3$ удовлетворяет $b(x)$ так как $x^3 = O(x^2)$

нам надо чтобы $f(x)$ удовлетворяло $ \frac{1}{1 + O(g(x))}$ то есть $ \frac{1}{1 + O(x^2)}$ для этого надо представить $f(x) = 1 + x^3 $ в виде $ \frac{1}{1 + h(x)}$ и убедиться что $h(x) = O(x^2)$

$1+x^3 = \frac{1}{1+h(x)} \Rightarrow h(x) = - \frac{x^3}{1+x^3}$

раскладываем в ряд Тейлора $h(x) = - \frac{x^3}{1+x^3} = -x^3 + x^6 - x^9 ... $ убеждаемя что $h(x) = O(x^2)$

то есть $ f(x) =1 + x^3$ удовлетворяет $ \frac{1}{1 + O(x^2)}$

теперь-то уж вроде все правильно?

[mihaild]

Более-менее. Только не говорят "$f$ удовлетворяет $O(g)$" - говорят либо "$f$ принадлежит $O(g)$", либо (менее правильно, но встречается чаще) "$f$ есть $O(g)$", или просто "$f = O(g)$" (в этой записи равенство понимается в нестандартном смысле; в частности, его нельзя перевернуть - нельзя писать $O(g) = f$).
И уж тем более непонятно что значит "$f(x)$ удовлетворяет $a(x)$".
А так - рассуждения правильные (правда привлечение аппарата рядов Тейлора для таких задач - перебор; кроме того, нужное утверждение выполнено и для недиффиринцируемых $g$).

[dp]

Спасибо, стало попонятнее.

А как без ряда Тейлора показать что $ - \frac{x^3}{1+x^3} = O(x^2)$ ?

[mihaild]

Всё так же - написать определение $O$, угадать константу и доказать неравенство.

[dp]

да, спасибо, когда написал уже сам понял (просто ряды в вольфраме очень удобно раскладывать)

Хотя ответы на форуме сильно помогли, но все-таки чисто по ответам я бы наверное не разобрался. Сильно помогла эта статья, ссылка на которую есть в курсе (но что странно после этого задания )

http://www.math.uiuc.edu/~hildebr/595ama/ama-ch2.pdf