Все инвариантные подпространства матрицы

[Zeekless]

Рассмотрим множество из $d$ линейно независимых обобщённых собственных векторов (собственных векторов + присоединённых векторов) матрицы $A \in \mathbb{C}^{d \times d}$. Разобьём это множество на $M$ жордановых цепочек. Пусть $m$-ая жорданова цепочка содержит $N(m)$ векторов.

Рассмотрим $A$-инвариантные множества вида

$$ U_n^m=\operatorname{Span}(x_1^m, \dots , x^m_n), $$

где $m \in \{1, \dots, M\}$, $n \in \{1, \dots, N(m)\}$ и $x^m_n$ - $n$-ый вектор в $m$-ой жордановой цепочке.

Вопрос. Верно ли, что любое ненулевое $A$-инвариантное подпространство $U$ пространства $\mathbb{C}^d$ может быть разложено в прямую сумму таких множеств? Если это так, то где можно прочитать относительно элементарное доказательство?

$$ AU \subset U \quad \overset{?}{\Leftrightarrow} \quad U= \bigoplus_{ \overset{\text{ \tiny некоторые} }{\Large m, n} } U^m_n $$

Простым языком. Жордановым клеткам матрицы соответствуют цепочки вложенных друг в друга инвариантных подпространств. Верно ли, что любое инвариантное подпространство, связанное с этой матрицей, представимо как прямая сумма элементов таких цепочек?

[vpb]

Верно, если для каждого собственного значения есть лишь один (с точностью до пропорциональности) собственный вектор (или, эквивалентно, только одна жорданова цепочка). Иначе неверно (простейший контрпример: двумерное пространство, а оператор нулевой). Где прочитать не знаю, факт такой простой (по модулю общего понимания, что такое жорданова форма; см. Кострикин 2, Винберг, Кострикин-Манин, Беклемишев (но не Курош и не Мальцев, там по другому)), что лучше всего думать самому. С другой стороны, верно такое утверждение: для любого инвариантного подпространства $U$ существует такое разложение исходного пространства $V$ на инвариантные подпространства $V=V_1\oplus\ldots\oplus V_t$, что на каждом $V_i$ оператор действует как жорданова клетка, и $U=\oplus (V_i\cap U)$. (Частный случай теоремы о модулях над кольцами главных идеалов; емнип, можно найти в Винберге. Впрочем, можно и прямо доказать).

-- 25.12.2018, 14:27 --

Нет, кажется с этим утверждением, что я ерунду написал ... надо подумать.

-- 25.12.2018, 15:01 --

Да, ерунда, конечно же. Попробуйте найти контрпример, с таким свойствами: основное пространство четырехмерно, а оператор нильпотентный (удовлетворяет $A^3=0$).

[Zeekless]

Уважаемый vpb, спасибо за ответ!

Я смотрю в качестве примера на матрицу

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &0\end{bmatrix}.$$

Вижу обобщённые собственные вектора

$$ x^1_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad x^2_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad x^2_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad x^2_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}, $$

и соответствующие им "базовые" инвариантные пространства

$$ U^1_1 = \operatorname{Span}(x^1_1), \quad U^2_1 = \operatorname{Span}(x^2_1), \quad U^2_2 = \operatorname{Span}(x^2_1, x^2_2), \quad U^2_3 = \operatorname{Span}(x^2_1, x^2_2, x^2_3). $$

Помимо перечисленных вижу также инвариантные пространства

$$ U^1_1 \oplus U^2_1, \quad U^1_1 \oplus U^2_2, \quad U^1_1 \oplus U^2_3.$$

Других ненулевых $A$-инвариантных пространств не вижу. Подскажите, пожалуйста, это я невнимательный или пример не показательный?

[Zeekless]

Действительно я невнимательный! Есть же ещё всякие одномерные товарищи типа $\operatorname{Span} (\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix})$. Они, конечно, лежат в $U^1_1 \oplus U^2_1$, но в список не попали.

[vpb]

Zeekless в сообщении #1363981 писал(а):

Есть же ещё всякие одномерные товарищи типа

Да, совершенно верно. Более того, любое одномерное подпространство $L$ в этом двумерном --- инвариантно. Но, заметим, такое $L$ или лежит уже в одной из исходных жордановых цепочек, или же найдется такой базис, в котором $A$ имеет жорданову форму, и $L$ соответствует жордановой цепочке (длины 1). Однако же, внутри этого примера есть подпространства $M$ другого рода: а именно, $M$ инвариантно и $A$ действует на нем с одной жордановой клеткой (и тогда $M$ порождается, относительно $A$, "старшим" вектором), но при том не существует базиса, в котором $A$ имело бы жорданову форму, а $M$ соответствовало бы части жордановой цепочки. Можете попробовать такое подпространство $M$ найти.

[Zeekless]

Обозначим $y = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \; z = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$. Тогда, в рамках того же примера, подпространства $ M_1=\operatorname{Span}(y,Ay), \; M_2=\operatorname{Span}(z,Az,A^2z) $ тоже $A$-инвариантны и ранее не перечислены. Вы о них говорили?

Я, правда, не совсем понял вот эту фразу:

vpb в сообщении #1363984 писал(а):

$A$ действует на нем с одной жордановой клеткой

[vpb]

Фраза означает, что подпространство $A$-инвариантно, и в нем есть базис, в котором матрица оператора (точнее, матрица ограничения $A$ на это подпространство) имеет вид жордановой клетки.

Пространство $M_1$ --- то самое, которое я имел в виду (точнее, одно из возможных. Вообще, заметим, $A$-инвариантных подпространств бесконечное число). А $M_2$ таким не является (есть инвариантное подпространство $M_3$ такое, что
$V=M_1\oplus M_3$).

[Zeekless]

vpb, спасибо Вам большое! Вы помогли мне чуть-чуть углубить понимание геометрии инвариантных пространств. Как минимум, теперь я вижу, что всё не так просто, как казалось в первом посте.

[vpb]

Пожалуйста, заходите, если что.