Назовём натуральное число забавным

[Ktina]

Назовём натуральное число забавным, если сумма его цифр, увеличенная на один из его делителей, также является делителем этого числа. Какое наибольшее количество подряд идущих натуральных чисел могут оказаться забавными?

Альтернативная формулировка, равносильная:

Назовём натуральное число забавным, если сумма его десятичных цифр представима в виде разности некоторых двух делителей этого числа. Какое наибольшее количество подряд идущих натуральных чисел могут оказаться забавными?

[gris]

Примеры: $10: 1=2-1; 12: 3=6-3=4-1; 14: 5=7-2; 16:7=8-1; 18: 9=18-9.$
Вопрос: само число и единичку считаем допустимыми делителями?
Можно ли $12$ назвать дважды забавным?

[Ktina]

gris в сообщении #1363466 писал(а):

Вопрос: само число и единичку считаем допустимыми делителями?

Разумеется.
Не сказано же, что делители должны быть собственными.

-- 24.12.2018, 17:04 --

gris в сообщении #1363466 писал(а):

Можно ли $12$ назвать дважды забавным?

Да на здоровье!
Только как это повлияет на решение задачи?

[daniel starodubtsev]

Несколько примеров трех забавных чисел подряд:
493, 494, 495
1000, 1001, 1002
1064, 1065, 1066
1246, 1247, 1248
2254, 2255, 2256
3223, 3224, 3225
3551, 3552, 3553
4471, 4472, 4473
7370, 7371, 7372
8018, 8019, 8020
...

Четыре подряд:
52512, 52513, 52514, 52515
52623, 52624, 52625, 52626
81990, 81991, 81992, 81993
84433, 84434, 84435, 84436
114722, 114723, 114724, 114725
124773, 124774, 124775, 124776
176784, 176785, 176786, 176787
...

Пять подряд:
52512, 52513, 52514, 52515, 52516
1200132, 1200133, 1200134, 1200135, 1200136
1774044, 1774045, 1774046, 1774047, 1774048
2066364, 2066365, 2066366, 2066367, 2066368
2101032, 2101033, 2101034, 2101035, 2101036
...

Шесть подряд:
1983200, 1983201, 1983202, 1983203, 1983204, 1983205
2047020, 2047021, 2047022, 2047023, 2047024, 2047025
...

[Ktina]

daniel starodubtsev
Больше 21 числа подряд теоретически быть не может, так как если забавное число нечётно, сумма его цифр должна быть чётной.
Было бы любопытно увидеть пример с 20-ю забавными числами подряд.

[daniel starodubtsev]

До 13 миллионов нашлось еще 13 раз по пять подряд и ни разу по шесть или больше. Странно.

[Ktina]

daniel starodubtsev
Возможно, 7 не бывает по неизвестным нам пока причинам.

[Ktina]

daniel starodubtsev в сообщении #1363508 писал(а):

1246, 1247, 1248

1245 тоже забавное, так что там 4 подряд.

[daniel starodubtsev]

Наблюдения:
Забавные числа реже всего заканчиваются на 9 (183 из первых 10000) и чаще всего на 0 (2988 из первых 10000), то есть почти каждое третье. При этом первое число в цепочке забавных чисел делится на 10 всего лишь только в пятой части случаев (а не в трети).

Нашел еще 25 цепочек на 5 чисел и одну на шесть:
21226750, 21226751, 21226752, 21226753, 21226754, 21226755

[Ktina]

daniel starodubtsev
Такое ощущение, что больше 6 нельзя...