Про пять чисел

[arqady]

Даны пять чисел: $1$, $2$, $3$, $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}.$
За один ход разрешается взять два из этих чисел и заменить каждое из этих двух на их произведение.
Затем это повторяется с новыми пятью числами.
Можно ли за несколько таких ходов получить сумму $4\frac{1}{4}$?

[grizzly]

arqady в сообщении #1363262 писал(а):

Можно ли за несколько таких ходов получить $4\frac{1}{4}$?

Может, что-то не так с условием? Выглядит так, будто спрашивается, можно ли, перемножая в любом количестве числа 2 и 3, получить число, кратное 17.

[mihaild]

$\frac{1}{4}$ в знаменателе получить можно (например, умножив $\frac{1}{2}$ на $1$, и перемножив две получившихся $\frac{1}{2}$).

[Shadow]

А число, кратное 17 в числителе...

[arqady]

М...дя. Это был бред. Исправил. Сейчас всё однозначно?

[grizzly]

arqady
У меня не было желания придраться :) Поэтому я не вижу отличия этой формулировки от прошлой. Получить дробь $\frac{17}4$ нельзя, но это слишком очевидно. Получить 4 дроби 1/4 можно, но это тоже до очевидного просто.

[arqady]

grizzly
Я забыл написать про сумму. Задача теперь совсем другая получается.

[rockclimber]

Теперь можно получить $\frac{1}{4}$ из $1$ и $\frac{1}{2}$, а потом четверку из $2$, $3$ и $\frac{1}{3}$. Так?

[grizzly]

rockclimber в сообщении #1363297 писал(а):

Так?

Вряд ли. Думаю, сумма всех чисел должна составить $4\frac{1}{4}$.

[rockclimber]

А, ну тогда еще пару шагов:

(Оффтоп)

$1$, $2$, $3$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$, $2$, $3$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$

$\frac{1}{4}$, $2$, $3$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$

$\frac{1}{4}$, $2$, $1$, $\frac{1}{4}$, $1$

$\frac{1}{4}$, $2$, $2$, $\frac{1}{4}$, $1$

$\frac{1}{4}$, $4$, $4$, $\frac{1}{4}$, $1$

$\frac{1}{4}$, $4$, $1$, $1$, $1$

$\frac{1}{4}$, $4$, $\frac{1}{4}$, $1$, $1$

$\frac{1}{4}$, $1$, $1$, $1$, $1$

[grizzly]

rockclimber в сообщении #1363307 писал(а):

А, ну тогда еще пару шагов:

После четвёртого хода можно было закончить одним ходом. Впрочем, не важно. Или мы всё равно что-то не поняли, или не задалась задачка

[12d3]

Можно за 4 хода.

(Оффтоп)

$1, 2, 3, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}, 2, 3, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$

$\frac{1}{4}, 2, 3, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}$

$\frac{1}{4}, \frac{2}{3}, 3, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}$

$\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, 3, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}$

[arqady]

grizzly в сообщении #1363309 писал(а):

Или мы всё равно что-то не поняли, или не задалась задачка

Всё задалось! Эта задача была на прошлой неделе на израильской олимпиаде для пятых-шестых классов. Я ещё не знаю статистику по ней, но, думаю, её многие решили. Ведь детишкам инвариант невдомёк!