Произведение 10 последовательных натуральных чисел

[Ktina]

Докажите, что произведение 10 последовательных натуральных чисел не может быть точным квадратом.

[JohnnyIpcom]

Среди этих 10-и чисел не может быть чисел, которые делятся на 11 и выше, иначе такое число будет только одно и произведение точно не будет точным квадратом. Значит они делятся только на 2, 3, 5 и 7. Среди чисел до 11 такое произведение всего одно($10!$) и оно не является точным квадратом(7-ка всего одна). Среди чисел больших 10 делителей 5 и 7 должно быть ровно 2+2 штуки(причём это может быть одновременно в одном числе, 35, например, я так понимаю). Значит произведение представимо в виде $2^a 3^b c^2$. Дальше не придумал пока, видимо надо доказывать, что такой комбинации не существует...

[grizzly]

JohnnyIpcom в сообщении #1363163 писал(а):

Среди этих 10-и чисел не может быть чисел, которые делятся на 11 и выше, иначе такое число будет только одно

121?

[JohnnyIpcom]

Да, уговорили. Может быть полный квадрат(четвёртая, шестая степень и так далее) простого числа... Или даже комбинация, например 121 * 169... Но такое число среди 10-и всё равно будет только одно и произведение всё равно должно вписываться в $2^a 3^b c^2$...

[JohnDou]

Родственная задача

(Спойлер!)

Используя

JohnDou в сообщении #1359873 писал(а):

Между простым $p$ и $2p$ всегда найдется хотя бы одно простое.

можно показать что произведение любых $k>1$ последовательных натуральных чисел не может быть степенью старше 1

[Shadow]

Если произведение этих чисел - квадрат, то среди них найдутся либо два квадрата, либо два удвоенные квадрата, либо два утроенные квадрата. А неравенство $m^2-n^2<10$, тем более $2m^2-2n^2<10$ и т.д в натуральных числах ограничено.
Если некоторое число взаимнопростое и с 3, и с 5, и с 7, то оно должно быть либо квадрат, либо удвоенный квадрат.
Если таких чисел три, то два из них будут одного вида. Допустим, таких чисел только два - одно квадрат, другое - удвоенный квадрат. Это возможно только если ровно четыре из чисел делятся на 3, другие две делятся на 5 и другие две делятся на 7. (остальные две квадрат и удвоенный квадрат). Рассмотрим те, которые делятся на 3. Среди них ровно две - нечетные. Взаимнопростые и с 2, и с 5, и с 7. Они могут быть либо квадрат, либо утроенный квадрат...

[Gagarin1968]

Ktina в сообщении #1363069 писал(а):

Докажите, что произведение 10 последовательных натуральных чисел не может быть точным квадратом.

Ktina
Вот в этой статье - обобщение Вашей задачи.

[wrest]

Gagarin1968 в сообщении #1363246 писал(а):

Вот в этой статье
- обобщение Вашей задачи.

Насколько я понимаю, Эрдёш и Селфридж показали ( https://projecteuclid.org/download/pdf_ ... 1256050816 ) что произведение двух и более последовательных натуральных чисел не может быть целой степенью больше первой. Просто, видимо, какие-то частные случаи по силам пятиклассникам, а какие-то нет, вот ТС и выкладывает те, которые для пятиклассников.

[Ktina]

Gagarin1968 в сообщении #1363246 писал(а):

Ktina в сообщении #1363069 писал(а):

Докажите, что произведение 10 последовательных натуральных чисел не может быть точным квадратом.

Ktina
Вот в этой статье - обобщение Вашей задачи.

Отдельное Вам спасибо! У меня было предчувствие, что у этой задачи есть обобщение.