2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисление пределов и логарифмы в асимптотике.
Сообщение21.12.2018, 23:06 


23/10/10
89
Всем привет. Давно интересует вопрос, ответа на который пока не нашёл (см. конец).

Сначала предыстория. Пусть у нас есть последовательность $a_n, n\in\mathbb{N}$ вещественных чисел, и умеренно трудоёмкий алгоритм подсчёта $a_n$ для заданного (не очень большого) $n$ с заданной (произвольно высокой) точностью. Мы хотим подсчитать $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ (тоже с высокой точностью), зная характер асимптотики $a_n$. Сама последовательность может быть задана крайне гадким образом, например так: $$a_n=\left(\frac{\pi}{2}+\ln 2\right)n-\ln n-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{i+j}{i^2+j^2}$$ (или ещё хуже, с рекуррентно определяемыми составляющими — в общем, без надежды на аналитическое решение задачи).

Предположим, что асимптотика $a_n$ при $n\to\infty$ имеет вид $a_n\sim c_0+c_1 n^{-1}+c_2 n^{-2}+\ldots$, т.е. что при любом $m$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^m(a_n-\sum_{k=0}^{m} c_k n^{-k})=0$ (в частности, $c_0$ и есть нужный нам предел; числа $c_k$ нам неизвестны, но мы знаем, что они существуют). В этом случае есть следующая идея (растущая из интерполяции; не назвать ли её методом Ньютона-Лагранжа-Ричардсона-Цагира). Возьмём натуральное $m$ и положим $b_m=n^m a_n$. Тогда последовательность $\Delta^m b_n/m!$, где $\Delta b_n=b_{n+1}-b_n$ — "разностный оператор", имеет асимптотику вида $c_0+d_1 n^{-m-1}+d_2 n^{-m-2}+\ldots$, т.е. порядок ошибки становится $O(n^{-m-1})$ вместо $O(n^{-1})$.

Т.е. идея, по сути, заключается в подборе оператора, который "убирает" из асимптотики члены вида $c_k n^{-k}$ при $1\leqslant k\leqslant m$, но "не трогает" член с $k=0$.

Внимание — вопрос. А что, если асимптотика имеет вид $a_n\sim c_0 + \displaystyle\sum_{u=1}^{U}\sum_{v=0}^{V} c_{u,v} n^{-u} \ln^v n$? (Здесь $V$ может зависеть от $U$ — но эта зависимость предполагается известной; в более общем случае могут быть и отрицательные степени логарифмов — в этом случае они аналогичным образом предполагаются ограниченными снизу.) Можно ли в этом случае подобрать какой-нибудь "удобно вычислимый" оператор, который "убьёт всё лишнее"?

В сети задают как непосредственно этот вопрос, так и его частные случаи. Ответов не нашёл — поэтому решил спросить и здесь.

(Upd. Увидел, что написал немного чуши, — и сразу появилась идея. Но, может, всё же кто-то уже сталкивался.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group