Построение резольвенты

[cver4ok]

Имеется ядро интегрального оператора $K(s,t)=e^s+e^t$ на отрезке $[0,1]$.

Надо построить резольвенту Фредгольма тремя способами: через ряд Неймана, через ряд Фредгольма и как для вырожденного ядра.

Считаем.

$K_1(s,t)=e^s+e^t$

$K_2(s,t)=\int\limits_{0}^{1}K(s,t_1)K_1(t_1,t)dt_1=\int\limits_{0}^{1}(e^s+e^{t_1})(e^{t_1}+e^t)dt_1=$ $e^{s+t}+(e-1)e^{s}+(e-1)e^{t}+1/2(e^2-1)$

$K_3(s,t)=\int\limits_{0}^{1}K(s,t_1)K_2(t_1,t)dt_1=\int\limits_{0}^{1}(e^s+e^{t_1})(e^{t_1+t}+(e-1)e^{t_1}+(e-1)e^{t}+1/2(e^2-1))dt_1=(e^s-1+e)(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))$

$K_4(s,t)=\int\limits_{0}^{1}K(s,t_1)K_3(t_1,t)dt_1=\int\limits_{0}^{1}(e^s+e^{t_1})(e^{t_1}-1+e)(e^{t_1+t}+(e-1)e^{t_1}+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))dt_1=(e^s-1+e)^2(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))$

$K_5(s,t)=\int\limits_{0}^{1}K(s,t_1)K_4(t_1,t)dt_1=\int\limits_{0}^{1}(e^s+e^{t_1})(e^{t_1}-1+e)^2(e^{t_1+t}+(e-1)e^{t_1}+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))dt_1=(e^s-1+e)^3(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))$

Получается что $K_n(s,t)=(e^s-1+e)^{n-2}(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))$, верно?

И как дальше делать? Еще не понял откуда и как берутся $\lambda$

[thething]

cver4ok в сообщении #1362819 писал(а):

И как дальше делать? Еще не понял откуда и как берутся $\lambda$

Читать определения. Откуда вообще взялась резольвента и для чего она нужна? Кто такой этот интегральный оператор и как он выглядит?

[cver4ok]

$R(x,t,\lambda)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda^{n-1}K_n(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))\lambda^{n-1}(e^s-1+e)^{n-2}=(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda^{n-1}(e^s-1+e)^{n-2}=(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1)) \frac{(1-\lambda)(e^s-2+e)}{\lambda^2(e^s-1+e)^2}$

Так верно?

[thething]

Если отбросить опечатки в обозначениях аргументов, то непонятно, куда Вы дели сумму ряда? Или я просто не вижу в Вашем ответе суммы геометрической прогрессии.

[cver4ok]

thething, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda^{n-1}(e^s-1+e)^{n-2} = \frac{(1-\lambda)(e^s-2+e)}{\lambda^2(e^s-1+e)^2}$, разве нет?