Предельный переход в решении квадратного уравнения

[Otta]

misha.physics в сообщении #1362597 писал(а):

Если так, то что теперь с этим делать?

С этим - как обычно, на первом курсе :) чтобы получить то же выражение, надо не только умножить, но и разделить на сопряженное. Что Вы, в самом деле, пределы иррациональностей всех учили считать.

[misha.physics]

Otta, да, точно, затупил что-то. Получилось, спасибо! Так даже ещё проще, без разложений.

[Igrickiy(senior)]

misha.physics
А Вы не расскажете, откуда появилось уравнение для $F_{10}$ ?
Из какой задачи?

[misha.physics]

Igrickiy(senior), из задачи нахождения уравнений электромагнитного поля для логарифмического лагранжиана для этого поля.

[Igrickiy(senior)]

misha.physics
Спасибо, понял.
Есть предложение.
Обозначим:
$x=\frac{q_3}{r}; y=F_{10}; \varepsilon=\frac{1}{2\beta^2}$
Тогда исходное Ваше уравнение имеет вид:
$y=x(1-{\varepsilon}y^2)$
Интересуемся асимптотикой решения $y=y(x,\varepsilon) \text{ при } \varepsilon \to0$
Если записать исходное уравнение в виде
${\varepsilon}xy^2+y-x=0$,
то это уравнение есть "сингулярно-возмущенное" уравнение с малым параметром ${\varepsilon}$ при старшей степени.
Непрерывной зависимости всех решений от малого параметра ждать не приходится, так меняется тип или характер уравнения.
Нужная асимптотика непосредственно следует из уравнения в первом виде:
$y=x(1-{\varepsilon}y^2){\approx}x(1- {\varepsilon}x^2)$

[misha.physics]

Igrickiy(senior), спасибо, интересно получается, вы просто отбросили малый член, получили $y=x$ и подставили в исходное уравнение вместо $y^2$.

[Igrickiy(senior)]

misha.physics
Это не я. Это стандартный метод последовательных приближений при разложения по степеням малого параметра.