Численное решение квазилинейного уравнения теплопроводности

[SlavaKrizh]

Здравствуйте. Имеется тепловая задача.
$\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}=Q(x,y,z)+\operatorname{div}(k\operatorname{grad}(T))$
Надо решить численно в цилиндрических координатах.
Уравнение в цилиндрических координатах:
$\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}=Q(r,\varphi,z)+\frac{\partial}{\partial r}\left(r k\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \varphi}\left(\frac{k}{r}\frac{\partial T}{\partial \varphi}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right)$
Если ни чего не напутал, то явная схема будет выглядит примерно так.
$\rho c_p \Delta V(\hat{T}_p-T_p) =Q\Delta Vdt+\left(\frac{r_ek_e(T_E-T_P)}{\delta r_e}-\frac{r_wk_w(T_P-T_W)}{\delta r_w}\right)dzd\varphi dt+\left(\frac{k_n}{r_n} \frac{(T_N-T_P)}{\delta\varphi_n}-\frac{k_s}{r_s} \frac{(T_P-T_S)}{\delta\varphi_s}\right)dzdrdt + $$\left(\frac{k_t(T_T-T_P)}{\delta z_t}-\frac{k_b(T_P-T_B)}{\delta z_b}\right)\overline{r}_p drd\varphi dt$
где $\Delta V=\overline {r}_p dz dr d\varphi$, $k_e=0.5\frac{k_Ek_P}{k_E+k_P}$
$r_e=0.5(r_E+r_P)$, $r_w=0.5(r_P+r_W)$.
При равномерном разбиении по идее $\delta z_t=\delta z_b=dz$ и аналогично для $r$ и $\varphi$, а так же $\overline{r_p}=r_e=r_w=r_p$

Вопрос в следующем чему будут равны $r_s$ и $r_n$? для меня это не очевидно единственно что приходит это при расчете в программе сделать так rn=0.5*dr*(2*indexPhi+1);?

[Pphantom]

Вообще-то в вычислительной схеме дифференциалы встречаться не должны...

[DimaM]

SlavaKrizh в сообщении #1362210 писал(а):

а так же $\overline{r_p}=r_e=r_w=r_p$

Наверно, имеются в виду приращения? Иначе с рисунком не согласуется.

SlavaKrizh в сообщении #1362210 писал(а):

Вопрос в следующем чему будут равны $r_s$ и $r_n$?

Логично смотрится $r_s=r_n=r_P$.

Дальше, $k_e$ записано определенно неправильно, $\Delta V$ лишнее.
Я бы дискретизовал именно уравнение теплопроводности прямо в нынешнем виде.

[SlavaKrizh]

Да приращение. А теплопроводность там и правда ошибка там не 0,5 а 2 должна стоять $2\frac{k_Ek_P}{k_E+k_P}$. Можно ещё так написать $k_e=0.5(k_P+k_E)$ или ещё один из вариантов $k_e=\sqrt{k_Pk_E}$. И почему $\Delta V $ лишнее?

[DimaM]

SlavaKrizh в сообщении #1362469 писал(а):

И почему $\Delta V $ лишнее?

Мне кажется, лучше дифур писать, не переходя к конечным объемам.