Приближ значение корня с помощью d^2 f.

[mr.vopros]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться в задаче.

Найти приближенное значение $f(x)=\sqrt{x}$ в точке $x=15$ с помощью $df$ и $d^2f$. Указание: $x_0=16$.

$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, $f''(x)=-\dfrac{1}{4\sqrt{x^3}}$

Я понимаю как найти приближенное значение с помощью $df$, а именно вот так $\sqrt{16}-\sqrt{15}\approx \dfrac{1}{2\sqrt{16}}(16-15)$, далее отсюда просто выражаем $\sqrt{15}$.

Но как это сделать с помощью $d^2f$? Я понимаю, что $d^2f=d(df)$.

Формально, я могу записать, что $\Delta(\Delta f)\approx -\dfrac{1}{4\sqrt{16^3}}(\Delta x)^2$, а после $\Delta(\Delta f)\approx -\dfrac{1}{256}$

Но как тут понять $\Delta(\Delta f)$? Можно записать $\Delta(\Delta f)=\Delta f_2-\Delta f_1$, но что это дает?

-- 18.12.2018, 12:20 --

Или, может имелось ввиду, что нужно считать через формулу тейлора, первые два члена? Но там ведь нет второго дифференциала?

Кстати, можно ли так записать $df=\dfrac{d^2f}{2}+o(dx^2)$ ? А так $df=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{d^nf}{n!}$?

[thething]

mr.vopros в сообщении #1362145 писал(а):

Но там ведь нет второго дифференциала?

Есть, дифференциалы любого порядка. Можете погуглить формулу Тейлора в терминах дифференциалов, хотя там и так очевидно, просто по определению дифференциалов высших порядков, как ее переписать.

[vpb]

Короче, в других словах: требуется найти приближенное значение, используя первые три (порядков 0,1,2) члена формулы Тейлора.

[mr.vopros]

Спасибо, кажется понял. Вот так? $\Delta f\approx df+\dfrac{d^2f}{2}$. Правильно?

[Singular]

(Оффтоп)

Сколько грибов в третьем бочонке?

[mr.vopros]

А почему, я ведь отсюда перекатал формулу http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/k/KONVAL/Sites/Russian_sites/Calc1-ru/6/03.htm

[Singular]

А Вам что нужно найти? Значение функции или её приращение?

[mr.vopros]

Singular в сообщении #1362367 писал(а):

$\Delta f\approx df+\dfrac{d^2f}{2}$. Правильно?

Значение функции. Вот так, верно?

$f(x)\approx f(x_0)+df+\dfrac{d^2f}{2}$. Правильно?

[Singular]

В принципе верно, только не ошибитесь с обозначениями, что Вы под ними понимаете.