одна аддитивная задача теории чисел

[vche]

: Не встречали ли где-нибудь что-то подобного типа?
:
: ЗАДАЧА.
: Доказать или опровергнуть, что
: любое простое р представимо в одной из следующих форм
:
: а) $p=a^2+d$
: где
: а - натуральное, d > 0 свободно от квадратов и d=2 или 1 (mod 4);
:
: б) $p=(b^2+d)/4$
: где
: b - натуральное нечетное, d > 0 свободно от квадратов и d=3 (mod 4);
:
: Тот же самый вопрос для степени простого числа.
:
: Проверено, что ответ на вопрос задачи утвердительный при всех p<1000
:
: (для представления
: $p=a^2+dc^2$
: утверждение доказывается достаточно просто; вся соль в c=1)
:
:
: Задача, несмотря на экзотичность, имеет вполне аппликабельный характер и возникла в прикладной задаче.

[maxal]

Похоже, что справедливы более сильные утверждения:

Каждое простое $p>13$ представимо в виде а).
Каждое простое $p$ представимо в виде б).

Численно проверил эти утверждения для всех простых $p<10^8.$

Эти формы также связаны с известной гипотезой Харди и Литтлвуда о том, что всякое достаточно большое число, не являющееся квадратом, представляется в виде суммы квадрата и простого. Представляя $p$ или $4p$ (которые, очевидно, не являются квадратами) в таком виде как раз получаем сумму $a^2 + d$, где $d$ - простое число (и поэтому, в частности, свободно от квадратов).

[Батороев]

vche писал(а):

d > 0 свободно от квадратов и d=2 или 1 (mod 4);

Не могу понять, что означает: "свободно от квадратов"?
Если $ d\equiv 2\pmod {4} $, то $ d $ - явно не квадрат числа.

[maxal]

Свободно от квадратов значит, что число не делится ни на какой полный квадрат больший 1 (или что в его разложение на простые каждое простое входит не более чем в первой степени). Например, число $6$ свободно от квадратов, а $12$ - нет (т.к. делится на $2^2$).
И это не то же самое, что быть полным квадратом.

[Батороев]

Спасибо за разъяснения.

Теперь не очень понятно:

maxal писал(а):

Эти формы также связаны с известной гипотезой Харди и Литтлвуда о том, что всякое достаточно большое число, не являющееся квадратом, представляется в виде суммы квадрата и простого. Представляя $p$ или $4p$ (которые, очевидно, не являются квадратами) в таком виде как раз получаем сумму $a^2 + d$, где $d$ - простое число (и поэтому, в частности, свободно от квадратов).

Для простого $d$ есть утверждение, что оно единственным образом представимо в виде разности квадратов двух чисел.
Следовательно, достаточно, чтобы $ a\ne \frac{d-1}{2} $ (соответственно, $ p\ne (\frac{d+1}{2})^2 $).
Или я опять не о том?

[maxal]

maxal писал(а):

Эти формы также связаны с известной гипотезой Харди и Литтлвуда о том, что всякое достаточно большое число, не являющееся квадратом, представляется в виде суммы квадрата и простого. Представляя $p$ или $4p$ (которые, очевидно, не являются квадратами) в таком виде как раз получаем сумму $a^2 + d$, где $d$ - простое число (и поэтому, в частности, свободно от квадратов).

Смысл этого замечания был в том, что гипотеза Харди и Литтлвуда влечет представимость всех достаточно больших простых чисел $p$ как в виде a), так и в виде б).

Батороев писал(а):

Для простого $d$ есть утверждение, что оно единственным образом представимо в виде разности квадратов двух чисел.
Следовательно, достаточно, чтобы $ a\ne \frac{d-1}{2} $ (соответственно, $ p\ne (\frac{d+1}{2})^2 $).
Или я опять не о том?

Я не понял, о чем вы. Вы пишите "достаточно" - для чего? И каким боком тут работает представимость в виде разности квадратов?

[Батороев]

Уфф!
Вроде, разобрался.
Первоначально посмотрел на задачу не под тем углом

Хочется убедиться, что теперь на правильном пути.
По-видимому, гипотезу Харди и Литтлвуда, например, для нечетных чисел, можно свести к вопросу:
Обязательно ли встретятся простые числа (в варианте vche - нечетные числа, свободные от квадратов) в ряду
$ p - \sum\limits_{i=1} 4(2i-1) $,
где $ p $ - нечетное число, не являющееся квадратом (в Вашем варианте и в варианте vche - простое число)?

[maxal]

Батороев писал(а):

По-видимому, гипотезу Харди и Литтлвуда, например, для нечетных чисел, можно свести к вопросу:
Обязательно ли встретятся простые числа (в варианте vche - нечетные числа, свободные от квадратов) в ряду
$ p - \sum\limits_{i=1} 4(2i-1) $,
где $ p $ - нечетное число, не являющееся квадратом (в Вашем варианте и в варианте vche - простое число)?

Ну можно, конечно, представить и в таком виде. Только нужно уточнить, что ряд - это:
$p - \sum\limits_{i=1}^k 4(2i-1)=p-(2k)^2,$ где $k=1,2,\dots$