Периодическая функция

[e7e5]

Известно, что $y=f(x)$ периодическая функция с периодом $T=6$, а $f(\sqrt{12})=2$, $f(2)=1$, $f(-3)=7$, $f(10)=-5$. Найти $f(-2002)\cdot f(\sqrt{2})-f(2016+\sqrt{2})+f(2003)\cdot f(1000)$.
Т.к. функция периодическая, то $f(x)=f(x+T)$.
Нанес на координатную плоскость - напоминает "единицы" с наклоном влево, повторяющиеся через "шесть".
$f(-2002)\cdot f(\sqrt{2})=f(-2\cdot7\cdot11\cdot13)\cdot f(\sqrt{2})$;
$f(2016+\sqrt{2})=f(2^5\cdot3^2\cdot7+\sqrt{2})$;
$f(2003)=f(3\cdot7\cdot11\cdot13)\cdot f(2^3\cdot5^3)$. Дальше непонятно, как находить.., ?

[EUgeneUS]

e7e5 в сообщении #1361859 писал(а):

Т.к. функция периодическая, то $f(x)=f(x+T)$.

Вот этим и нужно воспользоваться.
Приведите всё (и где значения даны, и в выражении) "к первому периоду", то есть чтобы все $f(...)$ имели вид $f(x)$, где $x \in [0,6]$.

-- 17.12.2018, 11:10 --

e7e5 в сообщении #1361859 писал(а):

$f(-2002)\cdot f(\sqrt{2})=f(-2\cdot7\cdot11\cdot13)\cdot f(\sqrt{2})$;

А вот раскладывать на множители в этой задаче совсем бесполезное занятие.

[e7e5]

EUgeneUS в сообщении #1361863 писал(а):

e7e5 в сообщении #1361859 писал(а):

Т.к. функция периодическая, то $f(x)=f(x+T)$.

Вот этим и нужно воспользоваться.
Приведите всё (и где значения даны, и в выражении) "к первому периоду", то есть чтобы все $f(...)$ имели вид $f(x)$, где $x \in [0,6]$.

$f(2)=1$, $f(3)=7$, $f(\sqrt{12})=2$, $f(4)=-5$;
$f(4) \cdot f(\sqrt{2})$-$f(\sqrt{2})$+$f(3) \cdot f(4)$. И как быть дальше?

[EUgeneUS]

e7e5 в сообщении #1361870 писал(а):

И как быть дальше?

Исправить ошибки (Вы неверно местами "привели к первому периоду", то есть остаток от деления на 6 посчитали).

[e7e5]

Исправил, осталось неизвестное значение $f(\sqrt{2})$

[EUgeneUS]

e7e5
хм. А что получилось в промежуточном результате?

[e7e5]

Не понял вопрос. В задании упоминается $f(\sqrt{2})$, но при вычислении выражения не сокращается: $f(4)f(\sqrt{2})-f(\sqrt{2})+f(3)f(4)$. Может где-то опечатка?

[EUgeneUS]

e7e5 в сообщении #1361902 писал(а):

Может где-то опечатка?

Скорее ошибки.

1. Почему у Вас $f(-2002)$ превратилось в $f(4)$?
2. Почему у Вас $f(2003)$ превратилось в $f(3)$?

[e7e5]

Да, это я ошибся, спс!

[EUgeneUS]

e7e5
Надеюсь Вы разобрались, что кусок выражения с $f(\sqrt{2})$ сокращается. (Надо сказать, что он сократится только если функция определена в $\sqrt{2}$, о чём явно в условиях не сказано).

Вторая часть выражения у меня получается равна $f(5)f(4) = -5 f(5)$. А вот откуда взять $f(5)$ - не понимаю Может какие-то опечатки в условиях?

[e7e5]

Опечатка в условии. Вместо $f(2003)$ должно быть $f(3003)$. И тогда будет $-5 \cdot 7=-35$. Спасибо!