Потенциал в вершине конуса

[AlexMeowler]

Здравствуйте. Имеется следующая задача "Коническая поверхность с основанием радиуса $R$ равномерно заряжена с поверхностной плотностью $\sigma$. Найти потенциал в вершине конуса."
Как я решал:
1. Напряженность электрического поля на оси кольца толщины $dx$ и радиуса $r$ в точке, удаленной на $x$ от его плоскости равна $E = \frac{\sigma rxdx}{2\varepsilon_0(x^2+r^2)^{3/2}}$
2. Потенциал в этой точке $d\varphi = \int\limits_{x}^{\infty}Edx = dx \int\limits_{x}^{\infty}\frac{r\sigma xdx}{2\varepsilon_0(x^2+r^2)^{3/2}} = \frac{r\sigma dx}{2\varepsilon_0 \sqrt{x^2+r^2}}$
3. Тогда потенциал в вершине конуса будет, при учете, что $R = x\tg\alpha$, где $\alpha$ - угол между образующей и осью конуса,
$\varphi = \int\limits_{0}^{h}d\varphi = \int\limits_{0}^{h}\frac{x\sigma\tg \alpha dx}{2\varepsilon_0x\sqrt{1+\tg^2\alpha}} = \frac{h\sigma\sin\alpha}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma R\cos\alpha}{2\varepsilon_0}$
В ответе написано, что потенциал должен выйти $\varphi = \frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}$
Где моя ошибка? Куда должен был исчезнуть косинус? Преподаватель говорит, что в задаче есть какой то скрытый нюанс, однако до меня не доходит...

[AnatolyBa]

Ошибку поискать можно. Но нужно ли?
Зачем вы ищете потенциал через напряженность? Есть же готовая формула для потенциала

[wrest]

Если угол прямой и конус тогда это диск, то у вас получается потенциал равен нулю, что очевидно не так.

[fred1996]

AlexMeowler
В таких задачках нужно правильно угадать разбиение на беско6ечно малые и порядок интегрирования. И, как правильно вам заметили, потенциал проще считать через... потенциал. Нежели привлекая напряженность поля. Он же скаляр.
Собственно, в этой задаче поверхность конуса разбивается простым симметричным способом по двум координатам. И даже порядок интегрирования оказывается неважен. Кстати, и напряженность поля тоже можно сосчитать в вершине конуса по той же схеме разбиений. Только это ничего не даст для подсчета потенциала.

[AnatolyBa]

Впрочем, если вы станете сейчас считать по формуле для потенциала - ваша ошибочка никуда не денется.
Но если бы вы с самого начала исходили из потенциала, мне кажется, вы бы сразу нашли более удобный способ интегрирования и ошибка бы не вкралась.
Ну, мне так кажется.
А найти ошибку - все же полезнее попытаться самому для начала

[DimaM]

AlexMeowler в сообщении #1361140 писал(а):

Напряженность электрического поля на оси кольца толщины $dx$ и радиуса $r$ в точке, удаленной на $x$ от его плоскости равна

Это вы не от конуса колечко отрезаете, а от цилиндра.

[AlexMeowler]

DimaM в сообщении #1361245 писал(а):

AlexMeowler в сообщении #1361140 писал(а):

Напряженность электрического поля на оси кольца толщины $dx$ и радиуса $r$ в точке, удаленной на $x$ от его плоскости равна

Это вы не от конуса колечко отрезаете, а от цилиндра.

Но ведь я потом учел, что конус - это набор колечек с переменным радиусом, зависящим от расстояния до вершины $r =x\tg\alpha$ Или это так не работает?

-- 14.12.2018, 14:06 --

fred1996 в сообщении #1361184 писал(а):

AlexMeowler
В таких задачках нужно правильно угадать разбиение на беско6ечно малые и порядок интегрирования. И, как правильно вам заметили, потенциал проще считать через... потенциал. Нежели привлекая напряженность поля. Он же скаляр.
Собственно, в этой задаче поверхность конуса разбивается простым симметричным способом по двум координатам. И даже порядок интегрирования оказывается неважен. Кстати, и напряженность поля тоже можно сосчитать в вершине конуса по той же схеме разбиений. Только это ничего не даст для подсчета потенциала.

Первые два предложения натолкнули на мысль проинтегрировать по поверхности конуса, используя формулу потенциала точечного заряда.
Тогда $\varphi = \int d\varphi = \int\limits_{S}^{}\frac{\sigma dS}{4\pi\varepsilon_0 l}$, $l = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Ну и для уравнения произвольного конуса $z = \alpha\sqrt{x^2 + y^2}$, где $\alpha = \operatorname{const}$ и выходит искомый ответ $\varphi = \frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}$
Это то, что вы и имели в виду под фразой "искомая поверхность разбивается простым симметричным способом по двум координатам"? Или её можно было решить еще проще?

[DimaM]

AlexMeowler в сообщении #1361298 писал(а):

Но ведь я потом учел, что конус - это набор колечек с переменным радиусом, зависящим от расстояния до вершины $r =x\tg\alpha$ Или это так не работает?

Переменный радиус-то вы учли, а то, что колечко наклонное (и высота у него другая) - нет.

[Ben]

Вы случайно не поле иглы ищете?
Если да, то аппроксимируйте острие иглы параболой.
Можно искать решение уравнения Лапласа через конформные отображения, (это будет случай листа с параболическим краем), потом найденное решение подставлять в цилиндрическую геометрию и шаманить "руками". Мне удавалось таким путем находить аналитические решения для потенциалов тел вращения.

[Ben]

Извините, не заметил:

Цитата:

равномерно заряжена с поверхностной плотностью $\sigma$

В жизни такого не бывает, как раз на носике заряды и соберутся.