Я не очень понял, что он там делает в этой статье, но в любом случае профессионалы так не работают.
Если бы мне надо было написать уравнения движения в этой задаче и нельзя было бы использовать уравнения Лагранжа , я бы действовал так. Обозначим за

притягивающий центр, за

-- центр масс стержня. Поскольку силы гравитации сходятся в

, мы сразу получаем закон сохранения кинетического момента стержня:
![$${\boldsymbol K}_O=\boldsymbol {const},\quad \boldsymbol K_O=m[\boldsymbol {OS},\boldsymbol v_S]+J_S\boldsymbol \omega.\qquad(1)$$ $${\boldsymbol K}_O=\boldsymbol {const},\quad \boldsymbol K_O=m[\boldsymbol {OS},\boldsymbol v_S]+J_S\boldsymbol \omega.\qquad(1)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/a/8eae33c04b8f90fb4fa0eff54f7a21e682.png)
Где

-- масса стержня,

-- оператор инерции стержня относительно центра масс,

-- угловая скорость стержня. Поскольку задача плоская, угловая скорость направлена перпендикулярно плоскости картинки и оператор инерции действует просто как умножение на число:

.
Далее, вводим полярную систему координат

. Угол

отсчитывается от неподвижного направления до вектора

против часовой стрелки. Через

обозначим единичный вектор, направленнй вдоль стержня,

. Через

обозначим единичный вектор перпендикулярный плоскости рисунка и смотрящий на нас:

.
Остается написать теорему о движении центра масс:

Уравнения (1)-(2) расписываются по реперу

. Это будет три уравнения на искомые функции времени

. Формулы для скорости и ускорения точки в полярной системе -- смотрим в учебнике.