Двумерное уравнение Риккати

[mushti]

Добрый день! Рассмотрим двумерную систему дифференциальных уравнений:

$$ \begin{cases} x'(t)=x^2(t)-a,\\ y'(t)=x(t)y(t)-b \end{cases} $$

Как можно решить данную систему? Здесь $a,b$ - постоянные. Первое уравнение решается легко разделением переменных, так как оно зависит только от $x(t)$. Второе тоже можно решить (в принципе) при $b=0$: $\frac{y'(t)}{y(t)}=x(t)$ и поэтому $y(t)=e^{\int_0^t x(s)ds}$. Однако явно вычислить его - дело трудоемкое, к тому же это решение при $b=0$. Подскажите, пожалуйста, как упростить второе дифференциальное уравнение.

[thething]

Да куда уж проще-то? Линейное неоднородное уравнение, метод вариации постоянной.

[mushti]

Общее решение $y'(t)=x(t)y(t)$ есть $y(t)=ce^{\int_0^tu(s)ds}$. Тогда полагая что решение неоднородного есть $y(t)=c(t)e^{\int_0^tu(s)ds}$ приходим к $c'(t)=be^{-\int_0^tu(s)ds}$. Решить которое для общего $u(t)$ - я не уверен что получится

[thething]

Общее решение получится через интегралы. Чем оно Вам не нравится? Тем, что не всякий интеграл берётся? Или конкретизируйте свой вопрос, пожалуйста.

[mushti]

Нельзя сказать что не нравится. Так как решение $x(t)$ выражается через элементарные функции, хотел того же самого от $y(t)$.

[Singular]

Решение $y\left(t\right)$ вполне себе будет выражаться через элементарные функции. Ну, уж если очень хочется, можно поизвращаться и выразить решение посредством гудерманиана $\operatorname{gd}$.

[Markiyan Hirnyk]

Решение задачи Коши $\{ x'(t) = x(t)^2-5, y'(t) = x(t)y(t)+4,x(0) = 1, y(0) = 1\}$ выражается через $\sinh,\,\cosh,\,\log,\,\sqrt{}$. Выражение для решения громоздкое. Для иных начальных условий ответ похожий.

[Singular]

Строго говоря, постановка задачи неполная. Иначе говоря, чем не решение $x\left(t\right)=\pm\sqrt{a}$ и $y\left(t\right)=\pm\frac{b}{\sqrt{a}}$? Вот только, мне кажется, не "понравится" оно ТС. Есть и другие решения, что является следствием нелинейности первого уравнения.

Вообще, решение можно искать в виде $y\left(t\right)=\frac{b}{a}x\left(t\right)+u\left(t\right)$, где $x\left(t\right)$ определяется из первого уравнения, а функция $u\left(t\right)$ из уравнения $u'=u\,x$.

[mushti]

Большое спасибо всем! Действительно, общее решение выражается в элементарных функциях.
Я конечно же имел в виду решение дифференциального уравнения при произвольных (но фиксированных) начальных условиях $x(0)=x_0$, $y(0)=y_0$. Если честно, то приведенные ниже постоянные решения есть опять же решение но при начальных условиях $x(0)=\pm\sqrt{a}$, $y(0)=\pm \frac{b}{\sqrt{a}}$.