gefest_md
По таблице истинности для того что в скобках и таблиц для того что нужно вывести, хотя и без них понятно, что в такой логической форме

может зависеть от

и наоборот
Никогда бы не подумал. Можно найти недостающее условие в процессе доказательства.
Пусть дано

. Это короткая запись. На языке матлогики пишется так

(Д) (перевод: каждый элемент из множества

содержится в множестве

). Это уже вид предложения, который можно использовать с пользой.
Дальше надо доказать 1.

и 2.

.
Доказываю 1.

Перевод: Каждый элемент множества

содержится в множестве

Начну. Беру элемент

из

.
Теперь если бы я знал, что
не пусто, т.е.

, то я смог бы построить упорядоченную пару

, где

и

. Зная, что, по определению,

, делаю вывод, что

. Возвращаюсь к допущению (Д) (каждый элемент из ...). Подставляю

вместо

и по правилу вывода модус поненс вывожу, что

(8). Тогда, по определению множества

(там входят

), из (8), получим

, для некоторых

и

(как я сказал, там

). По теореме о равенстве упорядоченных пар,

. Поэтому

что и требовалось доказать.
Также для 2. надо
чтобы
было непустым.Так как надо доказать и 1., и 2., то недостающим условием должно быть

и

, что равносильно

Но это условие должно находиться вне эквивалентности, а не слева от нее, чтобы получилось доказать также и в другую сторону

. Т.е. неверно, что
![$[A\subset X\wedge B\subset Y\Rightarrow (A\times B\subset X\times Y)\wedge (A\times B\not=\varnothing)]$ $[A\subset X\wedge B\subset Y\Rightarrow (A\times B\subset X\times Y)\wedge (A\times B\not=\varnothing)]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/6/5f651e20ab69399cd800d88c0d6fdc8b82.png)
для любых множеств.