Преобразование Лоренца, СТО

[topSC]

1. Рассмотрим преобразование Лоренца $x^{\mu'}=\Lambda_{\hphantom{\mu'}\nu}^{\mu'}x^\nu.$ Я правильно понимаю, что $x^\nu, \, x^{\mu'}$ контравариантные компоненты, а $\Lambda_{\hphantom{\mu'}\nu}^{\mu'}$ компоненты матрицы перехода от системы $S$ к $S'$ и они совпадают с $\Lambda_{\hphantom{\mu}\nu}^{\mu}$ для записи, где штрихован $x,$ а не индекс, то есть $x'^{\mu}=\Lambda_{\hphantom{\mu}\nu}^{\mu}x^\nu,$ и теперь $ds^2=dx_{\mu'}\, dx^{\mu'}=\Lambda_{\hphantom{\mu'}\nu}^{\mu'}dx_{\mu'}\, dx^\nu=dx_\mu \, dx^\nu=\eta_{\mu \nu}dx^\mu \, dx^\nu \, ?$

2. Палка в системе $S$ параллельна оси $x$ находится в состоянии покоя. Она начинает ускоряться с постоянным ускорением в направлении оси $y.$ Как найти форму палки в любой момент времени $t'$ в системе $S' \, ?$

[Munin]

1. Надо понимать, что корректно штриховать именно индекс, то есть 4-вектор $x$ один и тот же, а вот системы координат разные, и поэтому индексы тоже несовместимые.

2. В СТО не бывает ни "постоянного ускорения", ни тем более одинакового ускорения для протяжённых предметов. Хотя жаргонно так могут называть кое-какой другой режим движения, и тут вам надо разобраться, какой именно.

[Eule_A]

Munin в сообщении #1357543 писал(а):

корректно штриховать именно индекс, то есть 4-вектор $x$ один и тот же, а вот системы координат разные, и поэтому индексы тоже несовместимые.

Вот сейчас Вы, на мой взгляд, сильно перемудрили. Так запутать можно кого угодно. Вектор - сам объект - Вы можете обозначать всегда одной и той же буквой. Координаты вектора в разных системах координат уже могут быть и со штрихами, и с двумя штрихами, и с волнами - как угодно, нет здесь никакой некорректности. Переносить всякие дополнительные символы на индексы - это как-то странно и к корректности ничего не добавляет. Наоборот, если координаты вектора в разных системах координат обозначаются одной буквой, то это запутывает.

Специально сейчас даже заглянул к Вайнбергу в его "Квантовую теорию поля", параграф о преобразованиях Лоренца - он штрих вешает не на индекс. У математиков так же. Да и навскидку не вспомню, где я бы видел штрих на индексе в таком смысле. Просто чтобы был другой индекс, когда "букв не хватает" - да.

[warlock66613]

Eule_A в сообщении #1357550 писал(а):

Переносить всякие дополнительные символы на индексы - это как-то странно

Это же повсеместно используется. Даже на этом форуме можно найти много примеров.

[Eule_A]

warlock66613 в сообщении #1357553 писал(а):

Это же повсеместно используется.

Ну, вот я привёл пример, где это не используется. И потом, меня мало интересует, где используется это обозначение: я против того, что якобы некорректно ставить штрих на обозначение координаты. Мне казалось, что я сказал это достаточно чётко. В остальном - развлекайтесь, как хотите. Как участник я сказал, что хотел, как модератор я тут не требуюсь. Пока во всяком случае.

[Munin]

Eule_A
Спасибо за уточнения.

Что я имел в виду:
- да, "координаты вектора в разных системах координат уже могут быть и со штрихами, и с двумя штрихами, и с волнами - как угодно, нет здесь никакой некорректности";
- но иногда удобно подразумевать, что координаты с разными обозначениями несут разную семантику, например:

$x^\mu, x^{\mu'}$ - в разных системах координат;
$x^\mu,x^i$ - четырёхмерные и трёхмерные индексы;
$x^\mu,x^\alpha,x^{\dot{\alpha}},x^\mathrm{A},x^a\ldots$ - индексы векторные и спинорные, твисторные, внутренние и так далее.

Разумеется, всё это не формально, а подбирается из соображений интуитивной понятности и удобства использования. Например, система со штрихованными и нештрихованными индексами изложена и активно используется в Вайнберг. Гравитация и космология.

[Walker_XXI]

Ещё уточняющий вопрос к п. 2:

topSC в сообщении #1357540 писал(а):

Как найти форму палки в любой момент времени $t'$ в системе $S' \, ?$

Система $S'$ - это что за система, с чем связана или как движется по отношению к $S$ ?

[Munin]

Walker_XXI в сообщении #1357580 писал(а):

Система $S'$ - это что за система, с чем связана или как движется по отношению к $S$ ?

Да какая разница? Преобразования Лоренца всё равно можно записать.

Надо только научиться применять п.Л. не к точке, а к линии.

[Eule_A]

Munin
Я на всякий случай уточню со своей стороны, почему у меня возникла такая реакция. При имеющейся системе пунктирных индексов (понятно, что буквально в этой части теории о них речи не идёт) приписывать штрихам у индексов специфический смысл - не очень хорошо по моему мнению. У Рашевского, например, индексы именно штрихами, а не точками снабжаются. Т.е. лично я бы штрихом у индекса отмечать принадлежность к другой системе отсчёта/координат никогда не стал, для меня это противоестественно. Вот у меня такие представления о прекрасном.

(Оффтоп)

А Вайнбергу можно, потому что он мирового уровня специалист, в отличие от меня Что, впрочем, не мешает мне не следовать его примеру и считать такое обозначение в этом контексте неудачным.

В остальном - главное, чтобы 1) обозначения были оговорены, 2) не вводили в заблуждение, по крайней мере, одного человека, кроме автора. Вот и всё.

Всё. Устраняюсь. Продолжайте, пожалуйста.

[Munin]

Я ни в коем случае не предлагал штрихи на роль точек. Пунктирные спинорные индексы - совсем другое.

[topSC]

Munin в сообщении #1357585 писал(а):

Надо только научиться применять п.Л. не к точке, а к линии.

Я понимаю отрезок представить в новых координатах. Но что хотят в задаче, когда говорят об ускорении в направлении оси $y$? Там предлагалось доказать, что этот отрезок будет частью параболы. Но почему?

[Munin]

topSC в сообщении #1359919 писал(а):

Там предлагалось доказать, что этот отрезок будет частью параболы.

Чего?????

Вы вообще в курсе, что такое пространство-время?

[topSC]

Вот так задача звучит в оригинале: A rod in frame $S$ is parallel to the $x$-axis. It is accelerated from rest with constant acceleration in the $y$-direction. Show that the shape of the rod at any instant $t'$ in frame $S'$ is part of a parabola.

[Munin]

Теперь расскажите, что, по-вашему, это значит.

[topSC]

Палка в системе $S$ параллельна оси $x$ находится в состоянии покоя. Она начинает ускоряться с постоянным ускорением в направлении оси $y.$ Покажите, что форма палки в любой момент времени $t'$ в системе $S'$ является частью параболы.