На столе лежит куча из 2018 камней...

[Ktina]

На столе лежит куча из 2018 камней. Из неё убирают один камень и кучу делят на три (не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше трех камней, снова убирают один камень и снова кучу делят на три, и так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трёх камней?

Додуматься до олимпиадной идеи мне не удалось, поэтому пришлось тупо составлять уравнение. С каждым ходом общее число камней уменьшается на 1, а число куч увеличивается на 2. Поэтому после $n$-ного хода общее число камней будет равно $2018-n$, а куч всего будет $2n+1$. Если бы все кучи состояли только из трёх камней, то выполнялось бы

$$(2n+1)\cdot 3=2018-n\Rightarrow 6n+3=2018-n\Rightarrow 7n=2015$$

. Однако, 2015 на 7 не делится.

Может, я в упор не вижу какой-нибудь простейший олимпиадный трюк, который позволил бы избежать составления уравнения?

[gris]

Что если пойти задом наперёд? На доске записано бесконечное число троек. Можно стереть любые три числа, а вместо них написать их сумму, увеличенную на единицу. Какие числа могут появиться на доске? Не ясно ли без формул, что это числа, сравнимые с тройкой по модулю семь?
Можно пообобщать задачу разными способами. Узнать, что Вашим методом из 2018 камней можно получить несколько кучек по 5 камней, например.

[Ktina]

gris в сообщении #1359814 писал(а):

... Узнать, что Вашим методом из 2018 камней можно получить несколько кучек по 5 камней, например.

Что-то у меня 5 не выходит никак...

[gris]

Ой , охота вам камни ворочить, лучше уж Возьмите спички.
$2018\to 5+5+2007\to5+5+5+5+1996...$ (Ксюшу вспомнил). Ну и так до того, как останется кучка в 5 спичек.