Задача на среднее значение вероятности

[Astroid]

Добрый день. Появилась задачка, которая меня заинтересовала, надеюсь, вам она тоже покажется занимательной.
Пусть имеется графически заданная функция $P(t)$ — вероятность наступления интересующего нас события $A$. В дополнение она является периодической с периодом $T_0$ и четной. Нас интересует среднее за период значение этой вероятности, т.е. $\overline{P(t)}$.
Мои рассуждения были такие:
1)Сразу отметаем в сторону $\overline{P(t)} = \frac{1}{T_0}\int\displaylimits_{0}^{T_0}P(t)dt$, т.к. функция задана неявно.
2)Можно решать численно, дробя временные промежутки до конечных размеров, но это мне показалось нерациональным и недостаточно точным.
В конце концов я пришел к мысли, что интеграл лучше заменить суммой дельта-функций \begin{equation}\overline{P(t)} = \frac{1}{T_0}\overline{\sum_{i=0}^{\infty}s_i\delta(t-t_i)}\end{equation}$$
где весовые коэффициенты $s_i$ выбираются из соображений нормировки:

$$\sum_{i=0}^{\infty}s_i\delta(t-t_i) = 1$$

Вопрос состоит в вычислении средней суммы дельта-функций (1), я не припоминаю как это делается. И насколько рационален такой подход?
P.S. были у меня еще мысли разложить в ряд Фурье нашу функцию по синусам, но коэффициенты взять неоткуда, хотя такую сумму, наверное, было бы проще вычислять.

[Astroid]

Поправка: сведений о четности или нечетности функции нет.

[mihaild]

Astroid в сообщении #1359507 писал(а):

$\overline{P(t)} = \frac{1}{T_0}\overline{\sum_{i=0}^{\infty}s_i\delta(t-t_i)}$

Левая часть зависит от $P$, правая нет. Непорядок...

Вообще если у вас функция задана графически - придется считать численно. Есть много численных методов, которым требуются только значения функции в точках, их можно найти по графику. Что-то лучшее вряд ли удастся придумать.

Astroid в сообщении #1359507 писал(а):

т.к. функция задана неявно

Так графически или неявно? (неявное задание - это задание функции как решения уравнения $F(f(x), x) = 0$, и с графиком оно никак не связано)

[Astroid]

Да, графически именно. Спасибо, что поправили.
Левая часть просто представляет из себя среднюю по периоду вероятность. Значит справа весовым параметром $s_i$ должна быть $P(t_i)$, вы на это намекаете?

[Papazol]

Astroid в сообщении #1359507 писал(а):

Добрый день. Появилась задачка, которая меня заинтересовала, надеюсь, вам она тоже покажется занимательной.
Пусть имеется графически заданная функция $P(t)$ — вероятность наступления интересующего нас события $A$. В дополнение она является периодической с периодом $T_0$ и четной. Нас интересует среднее за период значение этой вероятности, т.е. $\overline{P(t)}$.

Не надо усложнять, если вы график смогли нарисовать, то это "хорошая" функция, не должно никаких проблем быть. Проблема с самой $t$ может быть (это которая в $P(t)$), вдруг некоторые значения $t$ более вероятны, чем другие? (Много причин может быть почему при выборе $t$ не равновозможны.)

[Astroid]

Papazol
В рамках данной задачи предлагаю считать $t$ равномерным.

[VPro]

Astroid в сообщении #1359507 писал(а):

Добрый день. Появилась задачка, которая меня заинтересовала, надеюсь, вам она тоже покажется занимательной.
Пусть имеется графически заданная функция $P(t)$ — вероятность наступления интересующего нас события $A$. В дополнение она является периодической с периодом $T_0$ и четной.

Итак, $P(t)$ - вероятность наступления события $A$ к моменту времени $t$. И задана на некотором периоде (финитна). Тогда она монотонно возрастает от 0 до 1 на этом периоде и не может быть четной. Если это плотность вероятности, то ее среднее значение на периоде всегда будет $\frac{1}{T_0}$.

Цитата:

Нас интересует среднее за период значение этой вероятности, т.е. $\overline{P(t)}$.

А что это за показатель? В чем его смысл? Может быть все-таки речь идет о среднем значении времени наступления события на периоде?.

Цитата:

Мои рассуждения были такие:
1)Сразу отметаем в сторону $\overline{P(t)} = \frac{1}{T_0}\int\displaylimits_{0}^{T_0}P(t)dt$, т.к. функция задана неявно.

Так все-таки задана графически или задана неявно?

Цитата:

2)Можно решать численно, дробя временные промежутки до конечных размеров, но это мне показалось нерациональным и недостаточно точным.
В конце концов я пришел к мысли, что интеграл лучше заменить суммой дельта-функций \begin{equation}\overline{P(t)} = \frac{1}{T_0}\overline{\sum_{i=0}^{\infty}s_i\delta(t-t_i)}\end{equation}$$
где весовые коэффициенты $s_i$ выбираются из соображений нормировки:

$$\sum_{i=0}^{\infty}s_i\delta(t-t_i) = 1$$

"дробя временные промежутки до конечных размеров," "интеграл лучше заменить суммой дельта-функций" Что значат эти абсурдные фразы?

Цитата:

Вопрос состоит в вычислении средней суммы дельта-функций (1), я не припоминаю как это делается. И насколько рационален такой подход?

Нет такого вопроса. Не существует никакой "средней суммы дельта-функций".

[Papazol]

Непонятно, в каком смысле автор темы употребляет слово "вероятность". Вообще, задача похожа на поиск мат.ожидания.

Попробую понять на конкретном примере. Допустим, есть некоторая последовательность отрезков-периодов $[n;n+1), n\in\mathbb{N}$. Допустим, мы бросаем кубик и наше событие $P(t)$ - это выпадение 6 очков. Пусть $P(n+t) =t/2, t\in[0;1)$, т.е., если мы на большом количестве периодов посмотрим, то увидим, что в при броске начале периода шестерка почти не выпадает, а при броске в конце периода выпадает с вероятностью $1/2$ (т.е. в половине случаев).
Вопрос - какова вероятность получить шестерку при броске в случайный момент $t\in[0;1)$? Причем при решении мы не имеем формулы $P(n+t) =t/2, t\in[0;1)$, а есть только график(картинка).

[Astroid]

VPro
Papazol
Хорошо, отвечу в обратном порядке авторам. Действительно, давайте, чтобы формализовать процесс назовем $\overline{P(t)}$ мат. ожиданием величины $P(t)$. Как уже и говорили выше, $P(t)$ в свою очередь является вероятностью наступления события $A$ в промежутке $[0; T_0]$. Не понимаю, откуда было взято утверждение о монотонном возрастании $P(t)$. Единственное, чему оно должно удовлетворять — это условию нормировки, то есть

$$\int\displaylimits_0^{T_0}P(t)dt = 1.$$

А вот $t$ действительно монотонно возрастает (это просто время).
В чем смысл такого мат ожидания? Я вам отвечу. Вот представьте себе висящую сосульку, под которой мы стоим целый год (период). Меня интересует, с какой вероятностью, простояв год под сосулькой, она на меня упадет (событие А).
Абсурдные фразы? Вы меня, конечно, извините, но вы слышали что-нибудь о численных методах? Об определении определенного интеграла вообще? Все что я сделал, это разбил временные промежутки на бесконечное количество дельта-функций, не делая предельный переход в интеграл.
То что такой вопрос не был задан до этого момента еще не значит, что его нет. Меня интересует дальнейших ход решения или альтернативные.

[Papazol]

Ну, я не сказал, что ваша задача это про мат.ожидание, я сказал, что она чем-то похожа и попытался разобраться на конкретном примере. Попытался четко сформулировать, рассуждал так чтобы было понятно другому математику. Тот пример, который привел он верен или нет? правильно ли я понял?

Что касается решения, то я бы просто нашел площадь под кривой и разделил на длину периода (т.е. нашел бы высоту прямоугольника с тем же основанием и такой же площади что и криволинейная трапеция) и далее использовал полученный результат.

[arseniiv]

Astroid в сообщении #1359728 писал(а):

Как уже и говорили выше, $P(t)$ в свою очередь является вероятностью наступления события $A$ в промежутке $[0; T_0]$. Не понимаю, откуда было взято утверждение о монотонном возрастании $P(t)$.

Если $P(t)$ — вероятность наступления события на $[0;t]$, то на $(t;t'], t'>t$ она не может быть отрицательной, потому $P(t')\geqslant P(t)$. Так что если $P$ периодическая, она должна быть постоянной. Это значит, что постановку задачи надо переделывать.

Astroid в сообщении #1359728 писал(а):

Единственное, чему оно должно удовлетворять — это условию нормировки, то есть

$$\int\displaylimits_0^{T_0}P(t)dt = 1.$$

Это требуют от плотности вероятности, хотя условие периодичности $P$ не даёт считать $P$ и плотностью.

Astroid в сообщении #1359728 писал(а):

А вот $t$ действительно монотонно возрастает (это просто время).

Эта фраза или бессмысленная (если говорить о переменной), или тривиальная (если говорить о тождественной функции).

Astroid в сообщении #1359728 писал(а):

То что такой вопрос не был задан до этого момента еще не значит, что его нет.

Про сосульку-то? Задан наверно уж давно, и с ответами. Если сосулька, например, ведёт себя как радиоактивное ядро, ответ вам даст экспоненциальное распределение, а именно его функция распределения; если вашу $P$ взять ею, тогда не надо никаких средних считать, надо просто взять интеграл и ни на что его не делить.

[Astroid]

arseniiv
Вы правы, плотностью её считать нельзя. Тогда подходит изначальное условие нормировки в виде

$$\sum_0^{\infty}P(t_i)\delta(t-t_i) = 1$$

Но не могу все же понять Ваше требование о том, что вероятность должна быть постоянной. На $\left(t; t'\right]$ при $t'>t$ $P(t)$ вовсе не должна быть отрицательной, она просто может уменьшиться, к примеру с 0.1 до 0.05. Представьте себе, что, к примеру, весной в оттепель вероятность падения сосульки гораздо выше, чем летом, когда сосулек в принципе нет. Отрицательной как раз могла бы быть плотность этой вероятности, как я считаю.
Спасибо за идею с радиоактивным ядром, мне бы не пришло в голову.
UPD: подумавши хорошенько, я понял, что даже если в промежутке будут нули функции, то ненулевые же промежутки тоже нужно заполнять бесконечным числом дельта-функций, а так как у каждой из них должен быть вес, то нормировка выйдет за пределы 1 или получится математический абсурд в виде бесконечно малых вероятностей, что в корне противоречит физической интерпретации. С этим я отказываюсь от дельта-функций и лучше применю тот же метод средних прямоугольников. Или попробую разобраться в предложенном arseniiv варианте с распадом ядра.

[arseniiv]

Astroid в сообщении #1359746 писал(а):

Но не могу все же понять Ваше требование о том, что вероятность должна быть постоянной. На $\left(t; t'\right]$ при $t'>t$ $P(t)$ вовсе не должна быть отрицательной, она просто может уменьшиться, к примеру с 0.1 до 0.05.

Переформулирую: если $P(t') < P(t)$, то вероятность произойти событию на промежутке $(t; t']$ равна $P(t') - P(t) < 0$.

Astroid в сообщении #1359746 писал(а):

Представьте себе, что, к примеру, весной в оттепель вероятность падения сосульки гораздо выше, чем летом, когда сосулек в принципе нет.

Можно всё себе представить — с другой постановкой задачи, где $P$ не функция распределения.

Вообще распад ядра я привёл как простой пример, у которого возможно хоть какое-то отношение к тому, что вам интересно. Вероятно, вам нужно не это.

[VPro]

Astroid в сообщении #1359728 писал(а):

VPro
Papazol
Хорошо, отвечу в обратном порядке авторам. Действительно, давайте, чтобы формализовать процесс назовем $\overline{P(t)}$ мат. ожиданием величины $P(t)$. Как уже и говорили выше, $P(t)$ в свою очередь является вероятностью наступления события $A$ в промежутке $[0; T_0]$. Не понимаю, откуда было взято утверждение о монотонном возрастании $P(t)$. Единственное, чему оно должно удовлетворять — это условию нормировки, то есть

$$\int\displaylimits_0^{T_0}P(t)dt = 1.$$

А вот $t$ действительно монотонно возрастает (это просто время).
В чем смысл такого мат ожидания? Я вам отвечу. Вот представьте себе висящую сосульку, под которой мы стоим целый год (период). Меня интересует, с какой вероятностью, простояв год под сосулькой, она на меня упадет (событие А).
Абсурдные фразы? Вы меня, конечно, извините, но вы слышали что-нибудь о численных методах? Об определении определенного интеграла вообще? Все что я сделал, это разбил временные промежутки на бесконечное количество дельта-функций, не делая предельный переход в интеграл.
То что такой вопрос не был задан до этого момента еще не значит, что его нет. Меня интересует дальнейших ход решения или альтернативные.

Ваши попытки что-то прояснить еще более абсурдны. Если, как вы говорите, "$P(t)$ в свою очередь является вероятностью наступления события $A$ в промежутке $[0; T_0]$", то $P(t)$ просто число $P$, а не функция зависящая от времени. И тогда ответ на ваш вопрос "с какой вероятностью, простояв год под сосулькой, она на меня упадет (событие А)?" очевиден - с вероятностью $P$. С другой стороны условие нормировки говорит о том, что $P(t)$ - финитная плотность вероятности с носителем на периоде. И тогда ответ на ваш вопрос не менее очевиден - с вероятностью 1.
За сим откланиваюсь.

[Astroid]

arseniiv
Я нигде и не называл $P(t)$ распределением вероятности! В моем смысле это функция, которая каждому моменту времени ставит в соответствие число - вероятность события А.VPro
Да, нагородил огород с я с этим $P(t)$.