Область применения распределения Максвелла

[Hagrael]

Здравствуйте! Я сейчас читаю про распределение скоростей Максвелла и после вывода формулы распределения было сказано, что есть некая зона применимости закона этого распределения. Там говорится:

Цитата:

"Классическое описание возможно, если выполнены условия: $\DeltaP\Delta x >> h$."

А какой смысл это имеет? То есть, если у нас $\Delta P \Delta x$ приближается к $h$, то не имеет смысла говорить о таком понятии как распределение скоростей? И говорить о скорости неуместно, выходит?

И если так подумать, то $h = 6,63\cdot10^{-34} Dj\cdot sec$, $\Delta P = m_{0} \cdot \Delta v_{0} $.
$m_0$ у нас у молекул газа порядка $m_0 = 1,67\cdot10^{-27} kg$, выходит, что при $\Delta v_{0}$ порядка $ \Delta v_{0} = 10^{-2} \frac{m}{sec}$ $\Delta x$ должен быть порядка $10^{-4} m$ или выше? Ведь тогда получится, что:
$\Delta P \Delta x = m_{0} \cdot \Delta v_{0} \Delta x = 1,67 \cdot 10^{-27} kg \cdot 10^{-2} \frac{m}{sec} \cdot 10^{-5} m = 1,67 \cdot 10^{-33} > $ 6,63 \cdot 10^{-34} Dj \cdot sec = h$

То есть величины $\Delta v_{0}$ и $\Delta x$ получают ограничения снизу. Но в чем суть этих величин? Ведь насколько я знаю, они обозначают неточность в измерении соответствующих величин. А о каком измерении можно говорить, когда мы говорим просто о распределении скоростей молекул самом по себе?

И имеет ли смысл вообще это ограничение? Если, скажем, $\Delta v_{0} = 1 \frac{m}{sec}$, то \Delta x должен быть больше, чем \Delta x = 10^{-6} m. Получается, что если так подумать, \Delta x имеет размеры гораздо больше порядка атомов и молекул... А если при этом увеличить неточность $\Delta v_{0}, то будут получаться отклонения в скорости сопоставимые с самой скоростью молекул газа... Что это означает? Может быть, это значит, что вводить понятие скорости для молекул вообще не имеет смысла?

[realeugene]

Hagrael в сообщении #1359195 писал(а):

Там говорится:

Вы неправильно процитировали. У вас нет ссылки на источник цитаты, интернетной или библиотечной.
Могу предположить, что вы перепутали различные $h$.

[Hagrael]

realeugene, извините, LaTeX-формула не сработала, видимо нечаяно вместо "\Delta P" написал "\DeltaP". Но подразумевалось именно:
Источник
$\Delta P \cdot \Delta x >> h$

Возможно, там вместо h нужно сравнивать с \hbar, но сейчас для меня это не суть важно
Интересно, что будет означать нарушение этого неравенства и что будет происходить на подходе левой части к правой? Начнут проявлять себя квантовые эффекты, как я понимаю, да? Но что здесь означают \Delta P и \Delta x? Как я понял, это погрешности, которые мы неизбежно будем иметь при "наблюдении" за частицами, при попытке узнать их P или x. Но ведь когда мы говорим о распределении Максвелла, о каких таких наблюдениях можно говорить?

Может быть, имеется в виду, что нам стоит учитывать неизбежно возникающие погрешности \Delta P и \Delta x, которые не учитывались при составлении распределения Максвелла, однако неизбежно будут на самом деле? И это будет происходить из-за "квантового" поведения частиц, участвующих в распределении?

[DimaM]

Hagrael в сообщении #1359531 писал(а):

Но что здесь означают \Delta P и \Delta x? Как я понял, это погрешности, которые мы неизбежно будем иметь при "наблюдении" за частицами, при попытке узнать их P или x.

В данном случае это вообще не очень понятно. Распределение Максвелла предполагает возможность наличия любых значений импульса.
Более разумным представляется ограничение $\dfrac{\hbar^2}{2mx^2}\ll kT$, означающее, что квант энергии гораздо меньше характерной тепловой энергии.

[Hagrael]

DimaM, спасибо, понял вас. Да, это уже более понятно Как бы, чтобы можно было говорить о возможности произвольного значения энергии у молекул газа, нужно, чтобы ее порядок в среднем был гораздо больше наименьшего возможного прироста энергии.

А можете, пожалуйста, сказать, что у вас в выражении значит x?

[DimaM]

Hagrael в сообщении #1359539 писал(а):

А можете, пожалуйста, сказать, что у вас в выражении значит x?

Характерный размер области, в которой находится газ.

[Munin]

В общем, это то место, которое становится понятнее, когда вы изучите, что находится по другую сторону границы применимости.

А находятся там квантовые распределения - идеальные газы Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна. Они асимптотически переходят в классический идеальный газ при малой плотности или высокой энергии. Но если плотность высока, а энергия низка, то начинается вырождение - причём совершенно различное для фермионов и бозонов.

Например, для фермионов это выглядит так: в пространстве импульсов они как-то распределены. По какому-то объёму, который можно оценить из характерной энергии: $\langle p\rangle\sim\sqrt{2m\langle E\rangle}.$ А энергия задаётся температурой. Но для фермионов соотношение неопределённостей запрещает занимать в пространстве импульсов объём, меньший чем $\dfrac{\hbar^3}{8V}$ (без учёта спина), где $V$ - объём, предоставленный газу. Так что, если энергия велика или объём велик, то газ далёк от этого ограничения и приближённо максвелловский, а если наоборот, то - вырожденный.

[lel0lel]

DimaM в сообщении #1359540 писал(а):

Характерный размер области, в которой находится газ.

Не совсем так. В отсутствии потенциального взаимодействия между частицами, $x$ это характерный размер области, приходящейся на одну частицу, то есть $x\sim v^{1/3}$, где $v=V/N$.

[Hagrael]

Munin в сообщении #1359612 писал(а):

В общем, это то место, которое становится понятнее, когда вы изучите, что находится по другую сторону границы применимости.

А находятся там квантовые распределения - идеальные газы Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна. Они асимптотически переходят в классический идеальный газ при малой плотности или высокой энергии. Но если плотность высока, а энергия низка, то начинается вырождение - причём совершенно различное для фермионов и бозонов.

Например, для фермионов это выглядит так: в пространстве импульсов они как-то распределены. По какому-то объёму, который можно оценить из характерной энергии: $\langle p\rangle\sim\sqrt{2m\langle E\rangle}.$ А энергия задаётся температурой. Но для фермионов соотношение неопределённостей запрещает занимать в пространстве импульсов объём, меньший чем $\dfrac{\hbar^3}{8V}$ (без учёта спина), где $V$ - объём, предоставленный газу. Так что, если энергия велика или объём велик, то газ далёк от этого ограничения и приближённо максвелловский, а если наоборот, то - вырожденный.

Интересно! Спасибо большое, Munin, я только сейчас узнал, наконец, что такое вырожденный газ

[Munin]

Осторожно, вырожденный ферми-газ и вырожденный бозе-газ - совершенно разные вещи. Но про бозе я даже боюсь начинать, у меня не получится рассказать "на пальцах".