На вибрирующий стол высыпали шарики

[EUgeneUS]

Давно крутилась в голове такая задачка (вспомнилась в связи с темой):

На вибрирующий в вертикальном направлении горизонтальный стол высыпали шарики.
Круговая частота вибрации - $\omega$
На какую высоту подпрыгивают шарики?

Вроде бы несложная. Но насколько корректная?

[wrest]

EUgeneUS
Очевидно, не хватает амплитуды. Высыпьте на динамик шарики и крутите громость: шарики будут подпрыгивать тем выше чем больше громкость.

[dsge]

EUgeneUS в сообщении #1359524 писал(а):

Вроде бы несложная.

Не так просто для олимпиады по физике:
https://www.cec.uchile.cl/cinetica/pcordero/Dim1/Papers/Bibliografia/NonLinDyn1996.pdf
или это:
Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей

[EUgeneUS]

dsge
спасибо!

[fred1996]

EUgeneUS
я думаю, простейшим корректным случаем будет из формулы $nT=\sqrt{\frac{8h}{g}}$
Причем шарики касаются стола в верхней его точке.
Как нетрудно догадаться из качественных соображений, это будет устойчивое подпрыгивание. Нижнее же положение неустойчиво.
Действительно. Пусть шарик ударился в не в верхней точке, а слегка раньше, когда поверхность еще двигается вверх. Тогда он получит дополнительую скорость и затратит на полет чуть больше времени. Поэтому в следующий раз он столкнется с поверхностью в более высокой точке. Ближе к точке моментального покоя поверхности. та же качетвенная картина будет если шарик по каким-то причинам запоздает столкнуться с поверхность. Она уже пошла вниз, поэтому скорость отскока чуток уменьшится, что уменьшит время полета и заставит в следующий раз шарик столкнуться с поверхностью в более высокой точке.
Расуждая аналогичным образом можно заметить, что нижнее положение плоскости для столкновений является "неустойчивым".

Более сложным вариантом может быть такой, что шарик попеременно сталкивается с верхней и нижней границей. Потому как верхнее столкновение будет устойчивым,, а нижнее неустойчивым. И кто кого победит, надо конкретно считать. Тут на пальцах не спрогнозируешь.

[fred1996]

Давайте от качественного анализа перейдем к количественному.
Пусть у нас столкновение с шариком происходит в верхней точке в фазе с шариком.
Амплитуда колебаний, период и круговая частота пусть: $A,T,\omega$
Плоскость двигается вертикально по закону: $y=A\cos(\omega t)$
Тогда скорость будет меняться по формуле $u=-\omega A\sin(\omega t)$
Соотношения для высоты подпрыгивания шарика находим по формуле $h=\frac 18 g(nT)^2$; здесь $n$ - количество полных колебаний плоскости стола.
Тогда скорость шарика перед ударом будет $v=-\frac{ngT}{2}$
Теперь слегка возмутим наше решение. Исследуем так сказать на предмет устойчивости. Пусть у нас шарик ударяется с плоскостью с той же скоростью, но с опозданием на малый временной параметр $\tau $
Теперь в момент удара скорость плоскости будет $u=-\omega^2A\tau$
Относительная скорость шарика будет $-\frac{ngT}{2}+\omega^2A\tau$, А после удара абсолютная скорость будет $\frac{ngT}{2}-2\omega ^2A\tau $
Мы везде в расчетах пренебрегаем смещением плоскости, так как это величина второго порядка малости по параметру $\tau $.
Теперь, зная начальную скорость шарика, можно вычислить время его полета до следующего столкновения.
Это будет $t_1=nT-4\frac{\omega^2A}{g}\tau$
То есть последующее соударение произойдет с запаздыванием $4\frac{\omega ^2A}{g}\tau$.
Очевидно, что нас в первую очередь интересует величина к-та перед $\tau$, Если он меньше единицы, то шарик будет приближаться к равновесному подпрыгиванию со стороны запаздывания. Если к-т больше единицы и меньше двойки, шарик будет приближаться к равновесному подпрыгиванию попеременно с о стороны опаздывания и опережения. А если к-т больше двойки, то система неустойчива.

На самом деле задачка даже в этом простейшем случае решена не до конца. Нужно просчитать, что будет со скоростью после последующих соударений. Если шарик приближается с одной стороны, то скорость после каждого соударения будет падать. Так что в результате к-т нужен не абы какой меньше единицы, но больше какой-то ненулевой величины.

(Оффтоп)

Просто мне влом еще и это сейчас считать. Да и вообще пора собираться на очередную "пьянку" русской комьюнити.

[amon]

(Оффтоп)

fred1996, поздравляю! Вы только что открыли временнУю фокусировку во времяпролетном масс-спектрометре ;) Это прибор, в котором одинаково заряженные ионы разгоняются электрическим полем и изучается время их пролета через фиксированный промежуток (фактически - скорость). Однако, у ионов одинаковой массы есть тепловой разброс по скоростям. Что бы его компенсировать, ионы запускают в постоянное электрическое поле, в котором они разворачиваются, по дороге собираясь опять "в кучку", поскольку время возврата быстрых ионов, как следует из Ваших формул, больше, чем медленных. К сожалению, Вы припозднились лет на сорок ;)

[fred1996]

Может быть еще интереснее этой задаче придать следующее содержание. Пусть у нас удары не абсолютно упругие, а с потерей какой-то части кинетической энергии (или импульса). Очевидно тогда, что равновесное подпрыгивание может быть в точках, когода плоскость движется вверх скажем так со скоростью, которую в результате теряет шарик. То есть в результате он ее не теряет, а получает такой же обратный импульс от поверхности, которая движется вверх.

-- 07.12.2018, 17:14 --

amon

(Оффтоп)

Ну что ж, прогресс налицо. Впервые я опоздал на шестьдесят лет, когда "изобрел" фазово-контрастный микроскоп. Так что все еще впереди!