Про факторизацию отображений

[Charlz_Klug]

Фраза

Цитата:

Сюръективное отображение $p: x \mapsto p(x) = \overline{x}$ называется естественным отображением (или канонической проекцией) $X$ на фактормножество $X/\sim$.

Здесь $\overline{x}$ — это некий класс эквивалентности и фактормножество $X/\sim$. Если я правильно понимаю, то $p$ отображает любой элемент множества $X$ в множество $\overline{x}$?

[arseniiv]

Да, любой (ведь даже указано, что $p$ действует из $X$ ) в соответствующий ему класс.

[Charlz_Klug]

arseniiv, спасибо. Продолжаю

Цитата:

Пусть $X$, $Y$ — два множества и $f: X \to Y$ — отображение. Бинарное отношение $\omega_{f}:\forall x, x' \in X \; x\omega_{f}x' \Longleftrightarrow f(x) = f(x')$, очевидно, рефлексивно $(f(x) = f(x))$, симметрично $(f(x') = f(x) \Rightarrow f(x) = f(x'))$ и транзитивно $(f(x) = f(x') \; \& \; f(x') = f(x'') \Rightarrow f(x) = f(x''))$. Таким образом, $\omega_{f}$ — отношение эквивалентности на $X$. Соответствующие классы эквивалентности $\overline{x}$ являются слоями (прообразами). Другими словами, $x = \{x' | f(x') = f(x)\}$.

Я не понимаю что это за "соответствующие классы". Прошу пояснить. Или здесь берётся некоторое $x$ из $X$ и для этого $x$ создаётся свой класс эквивалентности?

[arseniiv]

Да, соответствующие классы — опять же, классы эквивалентности отношения $\omega_f$, ведь других отношений эквивалентности рядом не рассматривается. И в данном случае можно получить все их, беря прообразы $f^{-1}(y)$ всевозможных элементов $y\in Y$ (а чтобы получить только их, надо будет только проигнорировать пустые прообразы).

-- Чт дек 06, 2018 23:48:20 --

Charlz_Klug в сообщении #1359336 писал(а):

Другими словами, $x = \{x' | f(x') = f(x)\}$.

Забыли черту в самом начале. Будем считать опечаткой.

[DeBill]

Charlz_Klug в сообщении #1359336 писал(а):

что это за "соответствующие классы".

Ну как - что: классы экв-ти для отношения $\omega_f$....
Ну, посмотрите примеры каки-нить, типа:
а) $f(x) = x^2$ на прямой
Или б) $f(x) = e^{ix},$ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$

[Charlz_Klug]

arseniiv в сообщении #1359343 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1359336 писал(а):

Другими словами, $x = \{x' | f(x') = f(x)\}$.

Забыли черту в самом начале. Будем считать опечаткой.

Это не моя опечатка, это в книге так. Меня это тоже смутило. Похоже, что действительно должно быть $\overline{x} = \{x' | f(x') = f(x)\}$.

-- 06.12.2018, 23:24 --

DeBill в сообщении #1359346 писал(а):

Ну, посмотрите примеры каки-нить, типа:
а) $f(x) = x^2$ на прямой

Если я правило понял, то примерами классов эквивалентности могут быть множества $\{0\}$, $\{-1, 1\}$, $\{-2, 2\}$ и т.д.?

[gefest_md]

Charlz_Klug в сообщении #1359328 писал(а):

Здесь $\overline{x}$ — это некий класс эквивалентности и фактормножество $X/\sim$.

Здесь или опечатка, или Вы не так поняли.
Там где рассказывают про отношение эквивалентности, обычно вводится также понятие разбиения (множества $X$). Наверно потому, что разбиение - в каком-то смысле более общее понятие, чем множество классов.

[Charlz_Klug]

gefest_md в сообщении #1359386 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1359328 писал(а):

Здесь $\overline{x}$ — это некий класс эквивалентности и фактормножество $X/\sim$.

Здесь или опечатка, или Вы не так поняли.
Там где рассказывают про отношение эквивалентности, обычно вводится также понятие разбиения (множества $X$).

Скорее я неправильно понял. Это мои слова. Да, понятие разбиения введено. Исходя из Вашего замечания и перечитав определения я делаю вывод, что $\overline{x}$ — это некоторое множество, а фактормножество — это разбиение отвечающее отношению эквивалентности. То есть, множество и фактормножество — это два разных понятия?

[arseniiv]

gefest_md в сообщении #1359386 писал(а):

Наверно потому, что разбиение - в каком-то смысле более общее понятие, чем множество классов.

Почему, любому разбиению множества взаимно однозначно соответствует какая-то эквивалентность на нём.

Charlz_Klug в сообщении #1359498 писал(а):

То есть, множество и фактормножество — это два разных понятия?

Да, конечно. Фактормножество — это множество, но притом не любое множество, так что. Давайте ещё раз проверим определения: если $\sim$ — отношение эквивалентности на некотором $X$, то фактормножество $X/{\sim}\equiv\{[x]_\sim\mid x\in X\}$, где $[x]_\sim\equiv\{x' \mid x'\in X, x'\sim x\}$ — множество элементов, эквивалентных $x$, и само отображение $[\cdot]_\sim$ — это та самая каноническая проекция, факторотображение $X\to X/{\sim}$.

[Charlz_Klug]

arseniiv в сообщении #1359519 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1359498 писал(а):

То есть, множество и фактормножество — это два разных понятия?

Да, конечно. Фактормножество — это множество, но притом не любое множество, так что. Давайте ещё раз проверим определения: если $\sim$ — отношение эквивалентности на некотором $X$, то фактормножество $X/{\sim}\equiv\{[x]_\sim\mid x\in X\}$, где $[x]_\sim\equiv\{x' \mid x'\in X, x'\sim x\}$ — множество элементов, эквивалентных $x$, и само отображение $[\cdot]_\sim$ — это та самая каноническая проекция, факторотображение $X\to X/{\sim}$.

Спасибо, так гораздо понятней.

[gefest_md]

Charlz_Klug в сообщении #1359498 писал(а):

а фактормножество — это разбиение отвечающее отношению эквивалентности.

Да, только такое соответствие между разбиением множества $X$ и отношением эквивалентности на $X$ устанавливается с помощью теорем. По-моему главная теорема такая: $\exists R\left(R\text{ - о.э. на }X\And B\text{ - мн-во классов по } R\right)\Leftrightarrow B\text{ - разбиение мн-ва } X$.

arseniiv в сообщении #1359519 писал(а):

Почему, любому разбиению множества взаимно однозначно соответствует какая-то эквивалентность на нём.

В определении разбиения не участвует никакое отношение. То есть в некотором (формальном) смысле понятие разбиения более общее.

[arseniiv]

Да ну прям более общее. В понятии отношения [эквивалентности, если нужно] тоже не участвует никакого разбиения.

[gefest_md]

1. "$B$ - множество классов по о.э. $R$ на $X$"
2. "$B$ - разбиение множества $X$"

Первое определяемое выражение переформулирую, чтобы было заметно уточнение:
1'. "$B$ - разбиение множества $X$ по $R$ (на $X$)"

В конце концов в 1 три буквы, в 2 - две буквы. Пусть я использовал слово "общее" в каком-то своем смысле.

[arseniiv]

А, то есть вы сравниваете разбиение на классы эквивалентности с просто разбиением (хотя особой пользы всё равно вроде не видно ). Сначала решил, что вы имели в виду, что разбиений в каком-то смысле больше, чем фактормножеств.