Дробно-рациональные функции

[A.M.V.]

Получены вот такие дробно-рациональные функции

$$y=\frac{1}{x^2+1},y=\frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+2)}, y=\frac{x^4+2x^2+2}{(x^2+2)(x^4+3x^2+1)}, y=\frac{x^6+4x^4+5x^2}{(x^2+1)(x^2+3)(x^4+3x^2+1)} $$

Подскажите те, кто знает, что это за функции (см. рис.), где можно найти их свойства, где они рассматривались впервые.

[arseniiv]

Ссылку плохо вставили — в таком виде не работает, а если скопировать текст вручную, она будет только на слишком маленькую превью.

[A.M.V.]

https://drive.google.com/file/d/15QRjEI ... p=drivesdk

[Someone]

Вопрос непонятен. О каких полиномах Вы спрашиваете?

[A.M.V.]

О дробно-рациональных функциях, что на графике https://drive.google.com/file/d/15QRjEI ... p=drivesdk.

[Someone]

Данные дробно-рациональные функции не являются полиномами.

А почему Вас вопрос о приоритете так волнует? Эти функции чем-то особо замечательные? Ведь дробно-рациональных функций, образно выражаясь, воз и маленькая тележка. Написав более-менее сложное выражение, Вы с большой вероятностью наткнётесь на функцию, которую никто и никогда не рассматривал.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Оставьте в виде картинки только собственно картинку (и вставьте ее нормально), формулы наберите, после чего уточните вопрос.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[wrest]

Интеграл от первой функции это арктангенс (т.е. первая функция, $y=\dfrac{1}{x^2+1}$ это производная арктангенса).
Несобственные интегралы от остальных функций тоже сходятся, а неопределенные интегралы "аналитически берутся".
Вторая: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(((x%5E4%2B2*x%5E2%2B2)%2F((x%5E4%2B3*x%5E2%2B1)*(x%5E2%2B2)))dx+from+-infinity+to+infinity
Третья: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(((x%5E6%2B4*x%5E4%2B5*x%5E2)%2F((x%5E4%2B3*x%5E2%2B1)*(x%5E2%2B1)*(x%5E2%2B1)))dx+from+-infinity+to+infinity

[A.M.V.]

wrest, согласна с Вами. Но я не про интегралы спрашиваю. Я про функции. Они, предполагаю, составляют группу. Но какую?

-- 10 дек 2018, 15:50 --

[Sender]

A.M.V. в сообщении #1360198 писал(а):

Они, предполагаю, составляют группу. Но какую?

Боюсь, на этот вопрос нельзя ответить, не зная, как они были получены.

[wrest]

A.M.V. в сообщении #1360198 писал(а):

согласна с Вами. Но я не про интегралы спрашиваю. Я про функции.

Ну вы же про свойства спрашивали. Вот вам и свойство: площади под ними конечны

A.M.V. в сообщении #1360198 писал(а):

Они, предполагаю, составляют группу. Но какую?

А какие вы уже знаете группы?

Эти функции, как видно
-- четные
-- гладкие (бесконечно гладкие)
-- ограниченные
-- абсолютно интегрируемые, в том числе на бесконечности

[A.M.V.]

Данные функции $f_1(x), f_2(x),f_3(x) $ получены следующим образом:

$${\int{\ln\left( x+\frac{1}{x}\right)}dx}=x\ln{\left(x+\frac{1}{x}\right)}-\int \frac{x^2-1}{x^2+1}dx=x\ln{\left(x+\frac{1}{x}\right)}-\int f_1(x)dx$$

$${\int{\ln\left( x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\right)}dx}=x\ln\left( x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\right)}-\int \frac{x^4+x^2+2}{(x^2+1)(x^2+2)}dx=x\ln\left( x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\right)}-\int f_2(x)dx$$

$${\int{\ln\left( x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}}\right)}dx}=x\ln\left( x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}}\right)}-$$ $$- \int \frac{x^6+3x^4+3x^2-2}{(x^4+3x^2+1)(x^2+2)}dx=x\ln\left( x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}}\right)}-\int f_3(x)dx $$

[wrest]

A.M.V. в сообщении #1360211 писал(а):

$${\int{\ln\left( 1+\frac{1}{x}\right)}dx}=x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}-\int \frac{x^2-1}{x^2+1}dx=x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}-\int f_1(x)dx$$

Как вы это получили? Вольфрам альфа на голубом глазу уверяет нас, что

$${\int{\ln\left( 1+\frac{1}{x}\right)}dx}=x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}+\ln(1+x)+C$$

Вот: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(log(1%2B1%2Fx))dx

[Sender]

А, ну так можно проинтегрировать по частям $I=\int \ln Q(x) dx$, тогда получается $I=x\ln Q(x)-\int x \frac{Q'(x)}{Q(x)}dx$