2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Дробно-рациональные функции
Сообщение05.12.2018, 16:44 


17/02/15
55
Получены вот такие дробно-рациональные функции

$$y=\frac{1}{x^2+1},y=\frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+2)}, y=\frac{x^4+2x^2+2}{(x^2+2)(x^4+3x^2+1)}, 
y=\frac{x^6+4x^4+5x^2}{(x^2+1)(x^2+3)(x^4+3x^2+1)} $$

Подскажите те, кто знает, что это за функции (см. рис.), где можно найти их свойства, где они рассматривались впервые.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-рациональные функции
Сообщение05.12.2018, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23981
Уфа
Ссылку плохо вставили — в таком виде не работает, а если скопировать текст вручную, она будет только на слишком маленькую превью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-рациональные функции
Сообщение05.12.2018, 20:46 


17/02/15
55
https://drive.google.com/file/d/15QRjEI ... p=drivesdk

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-рациональные функции
Сообщение05.12.2018, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16294
Новомосковск
Вопрос непонятен. О каких полиномах Вы спрашиваете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-рациональные функции
Сообщение05.12.2018, 21:36 


17/02/15
55
О дробно-рациональных функциях, что на графике https://drive.google.com/file/d/15QRjEI ... p=drivesdk.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-рациональные функции
Сообщение05.12.2018, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16294
Новомосковск
Данные дробно-рациональные функции не являются полиномами.

А почему Вас вопрос о приоритете так волнует? Эти функции чем-то особо замечательные? Ведь дробно-рациональных функций, образно выражаясь, воз и маленькая тележка. Написав более-менее сложное выражение, Вы с большой вероятностью наткнётесь на функцию, которую никто и никогда не рассматривал.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.12.2018, 22:44 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
16117
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Оставьте в виде картинки только собственно картинку (и вставьте ее нормально), формулы наберите, после чего уточните вопрос.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение10.12.2018, 13:29 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
16117
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-рациональные функции
Сообщение10.12.2018, 13:38 


05/09/16
4879
Интеграл от первой функции это арктангенс (т.е. первая функция, $y=\dfrac{1}{x^2+1}$ это производная арктангенса).
Несобственные интегралы от остальных функций тоже сходятся, а неопределенные интегралы "аналитически берутся".
Вторая: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(((x%5E4%2B2*x%5E2%2B2)%2F((x%5E4%2B3*x%5E2%2B1)*(x%5E2%2B2)))dx+from+-infinity+to+infinity
Третья: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(((x%5E6%2B4*x%5E4%2B5*x%5E2)%2F((x%5E4%2B3*x%5E2%2B1)*(x%5E2%2B1)*(x%5E2%2B1)))dx+from+-infinity+to+infinity

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-рациональные функции
Сообщение10.12.2018, 13:49 


17/02/15
55
wrest, согласна с Вами. Но я не про интегралы спрашиваю. Я про функции. Они, предполагаю, составляют группу. Но какую?

-- 10 дек 2018, 15:50 --


 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-рациональные функции
Сообщение10.12.2018, 14:02 
Заслуженный участник


14/01/11
1966
A.M.V. в сообщении #1360198 писал(а):
Они, предполагаю, составляют группу. Но какую?

Боюсь, на этот вопрос нельзя ответить, не зная, как они были получены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-рациональные функции
Сообщение10.12.2018, 14:10 


05/09/16
4879
A.M.V. в сообщении #1360198 писал(а):
согласна с Вами. Но я не про интегралы спрашиваю. Я про функции.

Ну вы же про свойства спрашивали. Вот вам и свойство: площади под ними конечны
A.M.V. в сообщении #1360198 писал(а):
Они, предполагаю, составляют группу. Но какую?
А какие вы уже знаете группы?

Эти функции, как видно
-- четные
-- гладкие (бесконечно гладкие)
-- ограниченные
-- абсолютно интегрируемые, в том числе на бесконечности

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-рациональные функции
Сообщение10.12.2018, 14:39 


17/02/15
55
Данные функции $f_1(x), f_2(x),f_3(x) $ получены следующим образом:
$${\int{\ln\left( x+\frac{1}{x}\right)}dx}=x\ln{\left(x+\frac{1}{x}\right)}-\int \frac{x^2-1}{x^2+1}dx=x\ln{\left(x+\frac{1}{x}\right)}-\int f_1(x)dx$$
$${\int{\ln\left( x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\right)}dx}=x\ln\left( x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\right)}-\int \frac{x^4+x^2+2}{(x^2+1)(x^2+2)}dx=x\ln\left( x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\right)}-\int f_2(x)dx$$
$${\int{\ln\left( x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}}\right)}dx}=x\ln\left( x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}}\right)}-$$
$$-
\int \frac{x^6+3x^4+3x^2-2}{(x^4+3x^2+1)(x^2+2)}dx=x\ln\left( x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}}\right)}-\int f_3(x)dx $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-рациональные функции
Сообщение10.12.2018, 15:02 


05/09/16
4879
A.M.V. в сообщении #1360211 писал(а):
$${\int{\ln\left( 1+\frac{1}{x}\right)}dx}=x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}-\int \frac{x^2-1}{x^2+1}dx=x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}-\int f_1(x)dx$$

Как вы это получили? :shock: Вольфрам альфа на голубом глазу уверяет нас, что
$${\int{\ln\left( 1+\frac{1}{x}\right)}dx}=x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}+\ln(1+x)+C$$
Вот: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(log(1%2B1%2Fx))dx

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-рациональные функции
Сообщение10.12.2018, 15:07 
Заслуженный участник


14/01/11
1966
А, ну так можно проинтегрировать по частям $I=\int \ln Q(x) dx$, тогда получается $I=x\ln Q(x)-\int x \frac{Q'(x)}{Q(x)}dx$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group